考研海文学员寒假学习计划

《考研海文学员寒假学习计划》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

XX考研海文学员寒假学习计划43P（数学）海文学员XX考研寒假复习计划XX考研数学全程复习规划XX考研数学寒假学习计划明细XX考研数学寒假学习重要指导思想《寒假配套特训100题》特训题1、设f?e2x?ex?x,求f.解令e?l?u,x?lnxf?2??ln?u2?u?ln于是f?x2?x?lnsinx?sin?sinx??sinx?特训题2、求极限lim4x?0x解：limsinxsinx?sinsinxcosx?cos?cosx?lim?limx?0x?0x?0x4x33x2cosx）sin?cosx?lim?limx?0x?03x26xsinxl?lim?x?06x63n?l?2n

1特训题3、求limn?l.nn??2?3

2解分子、分母用3除之，n?2?3????3??3原式=1imnn???2?2???1?3?n??nn特训题4、求下列各极限x?Ox?O解解一原式=X?1??1?解二原式=limx?0l?x?l?x?2

3?12??2等价无穷小量代换?2??llimx?0x解三用洛必达法则1??1??原式=lim?lx?01解一原式=1imx?0?l?x???l?x?x????2

43????解二类似中解二用等价无穷小量代换解三类似中解三用洛必达法则1im?l??n???1??1??1?1??1??2??2?2?2??3??n?17212212?1"1"19n?ln?ln?ll?lim?n??2nnn2解原式=lim?l??n???=lim?特训题5、求下列极限1324n??2233lim?l??x??

5?2??x?

6x?10lim??l?x??x?01?x??lx解lim?l??n???2??x?x?10??2???lim?l?????x????x???10??x?9X992????2??=lim??l?????x?????x????x?????2?99999??2???1?

7?e?2

8?1?99999x9lim?l?x?lim?l???l?x?x?O??x?0解一lim??lx?01?xe??lim?l?x?xx?0lxe?l??e?2e解二lim?x?0???2x???l?x??l?x?2x??lim?liml???????x?Ox?O?l?xl?x??????l?x??cotx1xlx?l?x???2???????2x??l?x??e?2特训题6、求下列极限limx?0limxx?l4x?llim

9x?0

10解令tanx?t则cotx?,当x?0时t?0于是limx?0cotxIt?lim?et?0It令x?l?t则x?l?t,当x?l时，t?0于是limxx?l4x?l???lim?lim??l?t???e4t?0t?0??cos2x4t14tlimx?0cotx2

11x?02?lim?l????x?0cos2x?sin2x?21=e特训题7、求下列极限limn??n?12k?limnk?2n??n?n?kk?ln解・.・2??2?2n?n?nn?n?kn?n?lk?lln1?2???nl?lim?而limn??n??nn2?2n2

12l?2???nIlim2?lim2?n??n?n?ln??n?n?12则夹逼定理可知limnk1??2n??2k?ln?n?kn特训题8、求limn.?22n??n?kk?l分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑nn2nn2??2?22222n?nn?lk?ln?kn21n2?,Iim22?l而1im2n??n?n22n??n?l由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑.nln解lim?2?lim?2n??n??nn?kk?lk?l

13l?k?l????n?2dx??arctanx??Ol?x204ll?sin.特训题9、求1imn??sin3n解离散型不能直接用洛必达法则，故考虑limx?0x?sinxsin3x等价无穷小代换limx?0x?sinx3xl?cosxsinxl?lim?2x?0x?03x6x61二・原式=.

146=lim特训题10＞求limex?0xl01?lx?2??xl?2e?3?0exx?liml2,为了避免分子求导数的复杂性,我们先用变量替换，令1?t,x2?exe?tt5于是liml0?lim?5?limtx?0xt???tt???e?2915t45!=limt???limt?Ot???et???e

15特训题11、求lim?1??1?x?.x?O?xe?l?01??x?l解lim??x?lim?x?O?xe?l?x?OxOex?lex=limx?limxxx?0?xexx?Oe?e?xex=lim11?x?02?x21cos2x).特训题12、求lim??2在内连续，则c?.,x?c?x?解：1f?x??limf?x??c?l?分析：由lim??2x?cx?c

16?c?lc

17x特训题14、求1im?x?02sin2x解令y?xsinx,lny?sin2xlnxx?0limlny?!imsin2xlnx?0??x?00x?0y?e?l.\lim?特训题15、求lim?cosx?x?0cot2x解令y??cosx?cot2x,lny?cot2xlncosx1imlny?limcot2xlncosx?limx?0x?0Incosxlncosx?lim2x?0tan2xx?0x1?O?tanxl

18??,Iimy?e2=limx?Ox?OO2x21??1特训题16、求lim?sin?cos?.x??xx??11?1???1解令y??sin?cos?,Iny?xln?sin?cos?xx?xx???xX1??1In?sin?cos?1nxx?limlny?lim??limx??x??t?Otx=limt?0cost?sint

19?1sint?cost.,Aimy?ex??特训题17、求极限limx?0Isinxln.2xx解：lirax?0lsinxl?sinx?ln?limln?l??l?x?0x2x2xx???1imsinx?xcosx?lsinx??x?0x?0x?06xx33x26特训题18、求limarctan3xx?01nsin5x解用等价无穷小量代换

201

213?原式=limx?0x??51.特训题19、求limx?01n3sinx?x2cos解这个极限虽是“必达法则.”型，但分子、分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛0l??sinx3?xcos??31原式=lim???x?01?cosxln??2x??1sinx?x?x3.特训题20、求limx?0x5x3x5??。解Tsinx?x?3!5!x5?o

22・•・原式=1im5??

23x?0x5!120特训题21、设f??2,求lim解?x?0f?f?xf?f???f?f??原式=lim?x?0?x=31im?x?0?21im?x?03?x?2?x=3f??2f??5f??10特训题22、设曲线y?f与y?sinx在原点相切，求limnf.n??2n解由题设可知f?0,f???x?0?2?

24f???fn?2?于是limnf???lim2?2f??2n??n??2n???0n特训题23、设a?0,xl?b?0,x2?l?a?l?a??求?x1??,?xn??xn?l?2?xl?2?xn?l?limxn.n??解Vxn???02a?xnl?a??0,则xn?l?xn又xn?l?xn??xn???xn?2?xn?2xn因此?xn?单调减少，又有下界，根据准则1,limxn?A存在l?a?l?a?把xn??xn?l?两边取极限，得A?A????2?A?2?xn?l?

25A2?a,VA>0，，取Alimxn?n??特训题24、求下列函数在分段点处的极限?sin2xxf??2x?x>0??l?cosx解f?lim?x?0sin2xsin2x?lim2?2x?0?x2xx2x2f?lim?lim?2x?0?l?cosxx?0?12x?01??x2?esinx?.特训题25、求lim??4x?0?x??l?ex???l??x2?esinx???2?l?l解lim?4???x?0

26?l?ex???3???4?xx2e?esinx???0?l?llim?4x?O??x??e?x?l???l??x2?esinx?Alim???14?x?0?x??l?ex??x2?ax?b特训题26、设lim?3,求a和b.x?lsin解由题设可知lim?O,A1+a+b=0x?l2再对极限用洛必达法则x2?ax?b2x?a2?alim?lim??3a?4,b??5x?lsinx?12xcos2特训题27、f连续，limx?0l?cosf91,则f99?9??9??9??99?99?解：12

27121sinx1?1，则由f连续,则f?分析：lim2x?Oxfx?0f2特训题28、讨论函数??ex?O?f?x???Ox?0?1?xsinx?0X?在点x?0处的连续性。解因f?O?O??limf?x??lime?O??x?0x?01f?O?O??limf?x??limxsin??x?0

28?0xf?0??0即有f?0?0??f?O?O??f?0?,故f?x?在点x?0连续.特训题29、讨论函数i?ln?x?2?????x>0???在点x?0的连续性.1In?limlnx??l解f?O?O??lim??x?Ox?Oxf?O?O??lim?x?01?lim?x?0?2x?0因f?O?O??f?0?0?,因而limf?x?不存在，故f?x?在点x?0不连续.

29isinx??xlO?特训题30、设f=ix在x=0处连续，求常数k.??x=0??k解•.Timf?x??limx?0sinx?1x?0xf?0??k,由连续性可知k?l特训题31、求函数f?1的间断点，并确定其类型.x?l解显然x?l是间断点，由于l=x?lx?lx?lx?ll?3所以X?1是f?x?的可去间断点.特训题32、求函数f?的间断点，并确定其类型.xx2?4解所给函数在点x?0,-2,2没有定义，因此x?0,-2,2是所给函数的间断点.下面确定它们的类型.对于

30x?0,由于f?lim?x?0x1x1??,f?lim??x?0?x2x2故x?0是第一类间断点，且为跳跃间断点.对于x??2,由于f?f?limx??2x??X故x??2是第二类间断点，且为无穷间断点.对于x?2,由于f?f?lim?x?2xl

311,则f?x?在x?2连4故x?2是第一类间断点，且为可去间断点.若补充定义f?续.特训题33、设f在内有定义，且limf?ax????1??f??x?Og???x??0x?0?则下列结论中正确的是x?0必是g的第一类间断点x?0必是g的第二类间断点x?0必是g的连续点g在x?0处的连续性与a的取值有关解limg?limf?x?Ox?O?1?f?a??tlim?x???

32Aa?O时x?0是g的连续点，a?0时，x?0是g的可去间断点故选D.特训题34、求limarctan?x?0?sinx??.x??解因limsinx?1,而函数y?arctanu在点u?l连续，所以x?Oxsinx???sinx??limarctan?=arctanlim?arctanl???x?0?x?0xx4????特训题35、设f在x=2处连续，且f?3,求limf?x?24??1.?2??x?2x?4?解由于f在x=2处连续，且f?3,所以limf?3x?2

33则limf?

34?2=limf?limf?2x?2x?2x?4?x?2x?4?x?213?x?2x?24=limf?limx?2特训题36、设f在［a,b］上连续，且f?a,f?b,证明：f?x在内至少有一个根.证令g?f?x,可知g在［a,b］上连续，g?f?a?Og?f?b?O由介值定理的推论，可知g在内至少有一个零点，即f?x在内至少有一个根.特训题37、求证：方程e?e证令f?e?e有一个根.x?xX?x?4?cosx在内恰有两个根.?cosx?4,它是偶函数，所以只需讨论f在内恰f??3?0,f?e2?e?2?cos2?4?0f在?0,2?上连续，根据介值定理推论，至少有一个?？,使f?o.

35又因为f??ex?e?x?sinx?O?x?O?,所以f在内单调增加，因此，f在内最多只有一个零点，于是f在内恰有一个零点，由偶函数的对称性，f在内恰有两个零点，也即所给方程在内恰有两个根.特训题38、设f?x???x?a?g?x?,其中g?x?在点a处连续，求f??a?。解?没有假设g?x?可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义f??a??limx?af?x??f?a??x?a?g?x??O?limx?ax?ax?a=ligm?x??g?a?0x?a特训题39、曲线sin?xy??ln?y?x??x在点？0,1?处的切线方程为？??？??？??？??？??？？.解：y?x?l.?1?1Fxy?x?分析:设F?sin?ln?x,斜率k??,Fyxcos?y?x

36ycos?在处，k?l,所以切线方程为y?l?x,即y?x?l特训题40、讨论函数??xx?0y?f?x??x??xx?0?在x0?0处连续性与可导性。解函数y?f?x??x在x0?0处连续，因为f?0??0x?0?limf?x??limf??x??0?x?0x?0?limf?x??limx?0?x?0x?0则limx?f?0??0但是，在x0?0处f?x?没有导数，因为f???0??lim??x?00??x?0?y?lim?x?x?0??x?x??x?lim???l?x?0?x?x?1im??x?0f???O??lim?

37?x?0O??x?O?y?lim??x?x?O?x?lim??x?0?x?x?lim??l?x?O?x?xof???0??f???0?曲线y?x在原点的切线不存在特训题41、设函数?x2x?lf?x????ax?bx?l试确定a、b的值，使f?x?在点x?l处可导。解?可导一定连续，？f?x?在x?l处也是连续的，f?x??limx?l由f?l?0??lim??2x?lx?l

38f?x??limf?l?O??lim?ax?b??a?b??x?lx?l要使f?x?在点x?l处连续，必须有a?b?l或b?l?af?x??f?l?x2?l?lim?lim又f???l??lim?x?l??2??x?l?x?lx?lx?lx?lf???l??lim?x?lf?x??f?l?a?x?l?ax?b?l?lim?lim?ax?l?x?l?x?lx?lx?l要使f?x?在点x?1处可导，必须f???l??f???l?,即2?a故当a?2,b?l?a?l?2??l时，f?x?在点x?l处可导。特训题42、求下列函数的导数：2y?x?y?cotx?解y??In?x?ln?x?

39X????1?????999・♦•X?1?y??cotx??2?9??=?2cotxcsc2x?2cosx=???sin3x?

40y?exsin2?lnx?cotxsinx特训题43、求下列函数的微分y?222解dy?x?exd?2xex?2??ex?2xsindx??x2edxdy?sinxd?dsinx21?12???cscx?dx?cosxdxsinx?x??l??csc3x?cosxlnx?cosxcotx?dx?xsinx?特训题44、设f?x?,求f?.

41?解令gx?x?x?g因此f??g?g?f??g?50?2特训题45、设f可微，y?fef,求dy.解dy?fdef?efdf=f?e=efffdx?1f?efdxxl????ff?fdx??x??dxdy特训题46、设y?y由方程arctan?和dy.解一对方程两边关于x求导，y看作x的函数，按中间变量处理.ll?x?y22??y?29

42?2yy???22l?x?y????2?????

4322?2y???2xl?x?y?22?l?x?y?22??2?22??l?x?y?????2

4422?41?x?y??

45??2?22??l?x?y????dx于是，dy?222?41?x?y??????解二对方程两边求微分，根据一阶微分形式不变性22??d?arctan?d????ldx2?y2??2I?x2?y2

46??

47?21?x2?y2??xdx?ydy??2??2y??1?x2?y2????2?

48?dy????

49?2?l?x2?y2????222?41?x?y??222?l?x?y????dy????1?x2?y22??????dx222?1?x?y??

50??2?22??l?x?y????dy?dx222?41?x?y??????2?22??l?x?y??dy???于是2dx22?41?x?y??

51??特训题47、求y?解Iny?y?.l?xn?x?lnxl?n?x1?lxn?3?In对x求导，得2xex?l?y??????2?x?y3?xx?lx?2x?le?x?因此，y??1112xex?1???2?x??xx?lx?2x?le?x?i?x=lndy?特训题48、设3求.

522?dx??y=tsintdydy2tsint+t2cost=解dx3t

53dt1+tl+t3）上任一点？xO,?处切线与两坐标轴所围成的直角xx0??1?1?2?x?xO?xOxO令y?0,得切线截x轴的截距X?2x0,令x?0,得切线截y轴的截距Y?2,x0直角三角形面积S??2?11XY????222?xO?2i?x=l+t?特训题50、求曲线i在t=2处的切线方程.3???y=tdy3t23解x0?l?2?5,y0?2?8.dx2t223dy=3,故切线方程为y-8=3dxt=2即3x-y-7=0?x?t2?2t,特训题51、设函数y=y由参数方程?确定，则曲线厂y在x=3处的法

54?y?ln线与x轴交点的横坐标是11ln2?3.?1n2?3.88?81n2?3.81n2?3.[A]【详解】当x=3时，有t?2t?3,得t?l,t??3,于是2dydx?t?12t?2t?l?1，可见过点x=3的法线方程为：8y?ln2??8,令y=0,得其与x轴交点的横坐标为：ln2?3,故应.3??x?t?3t?l特训题52、设函数y由参数方程?确定,则曲线y?y向上凸的??y?t?3t?1

5518x取值范围为【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由？?x?x?y?yd2yd2yy??x??x??y?定义的求出二阶导数,再由2?0确定x的取值范围.?23dxdx)dydy3t2?3t2?12【详解】，？？2?2?1?2dxdx3t?3t?lt?ldtd2yd?dy?dt?2??14t9919999999・・▲■・・・,・・・・dx2dt?dx?dx?t2?l?333d2y?0?t?0.令2dx又x?t?3t?l单调增，在t?0时,x?0

56特训题53、设f?x?在?0,3?上连续，在?0,3?内可导,且f?0??f?l??f?2??3,f?3??l,试证：必存在???0,3?,使f?????0。证?f在?0,3?上连续，?f在?0,2?上连续，且有最大值M和最小值叫m?f?M,于是m?f?M；故m?1)1f?f?f03?M?o由连续函数介值定理可知，至少存在一点c??0,2?,使得f?c??1?f?f?f??13因此f?c??f?3?,且f?x?在？c,3?上连续，？c,3?内可导，由罗尔定理得出必存在？??c,3???0,3?,使得f?????0o特训题54、设f?x?在?0,1?上连续，在?01,?内可导,且3f?x?dx?f?0?.求证：存在x?使f。=0证由积分中值定理可知，存在c,使得得到f?c??311?2?f?x?dx?f?c??l???3?

57f?x?dx?f2对f?x?在?0,c?上用罗尔定理，故存在x翁特训题55、设x>0,试证：,，使fC=0x证令f=ln,它在［0,x］上满足拉格朗日中值定理条件,=VfC11,ln-lnl=Ex-0］,1+t1+x因此ln=x特训题56、设不恒为常数的函数f?x?在?a,b?上连续，?a,b?内可导，且f?a??f?b?,证明？a,b?内至少有一点L使得

58证由题意可知存在C?使得f?c??f?a??f?b?如果f?c??f?a?,则f?x?在?a,c?上用拉格朗日中值定理存在xl?,使f???l??f?f?0c?a如果f?b??f?c?,则f?x?在?c,b?上用拉格朗日中值定理存在x2?,使f???2??f?f?0,b?c因此，必有x?,使得f?????0成立.特训题57、设f???0,f=0,证明对任意xl>0,x2>0恒有f证不妨假设xl£x2,由拉格朗日中值定理有①f=f-f=f。，0②x2xlDfiif这样由①②两式可知f>f-f因此，f特训题58、设f?x?在?a,b?上连续，？a,b?内可导，且b?a?O,证明：存在x?,h?使f。二a+bf。2x证考虑柯西中值定理fiif-ffg-ggg-g最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.再把欲证的结论变形，fiiff==222xa+bb-a两式比较，看出令g=x2即可.

59b2+ab+a2f。类似地，欲证f。2,则取g=x3即可二3x特训题59、设函数f?x?在？01且f?O??f??O??f??l??O,f?l??l.,?上二阶可导，求证：存在x?,使得fii34证先把f?x?在x=0处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式f?x??f?O??f??O?x?1f????l?x22!再把f?x?在x=l处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公

60f?x??f?l??f??l??x?l??在上面两个公式中皆取X二12f????2??x?l?2!1则得21?1?19919)f999f999919・・▲>・/-!-・・・-!-・・・・▲■・28?2?两式相减,得f??式相？f????2??8,于是fii+fii8因此max,fiifii)34亦即证明存在x?,使fii34特训题60、设在？0,1?上f???x??0,则f??0?,f??l?,f?l??f?0?或f?0??f?l?的大小顺序是f??l??f??0??f?l??f?0?f??l??f?l??f?0??f??0?f?l??f?0??f??l??f??0?f??l??f?0??f?l??f??0?解选？B?

61•・・根据拉格朗日中值定理f?l??f?0??f?????l?0??f????其中o???l,又f???x??0,・・.f??x?单调增加因此,

62f??0?特训题61、设函数f在?a,b?上连续，在?a,b?内可导,且满足f?。，如果f?单调增加，求证?？f?x?在?a,b?内单调增加.x?a证？？？?x?a?f??x??f?x?2?x?a?f?f?f?f?用拉格朗日中值定理于是??？f??x??f????x?a,/f??x?是单调增加，,f??x?>f????因此特训题62、设函数f在内连续，其导函数的图形如图所示，则f有一个极小值点和两个极大值点两个极小值点和一个极大值点两个极小值点和两个极大值点解有三个驻

63点和一个不可导点，考察它们两侧导数的符号，用第一充分判别法可知，最小驻点为极大值点，另一个较小驻点为极小值点，原点为不可导点是极大值点,最大的驻点为极小值点，故应选c特训题63、讨论f?max2x,?x的极值.三个极小值点和一个极大值点???x??0,则??x?在?a,b?内单调增加??1?l?x??x?l??3解f??l?2xx?l或X???3?f???=?1?2为极小值33??特训题64、设f在xO邻域内有定义，且x?xOlimf-fn=k,其中n为正整数，klO为常数，讨论f是否为极值.解f-f

64n=k+a,其中lima=0x?xOf-f=kn+an若n为正偶数,当x-x0则f-f与k同号，当k>0,f为极小值；当kVO,f为极大值.若n为正奇数，当*-*0特训题65、设f?x??解：x?t?t?x?dt,0?x?l,求f?x?的极值、单调区间和凹凸区间.1X1XX1f??tdt??tdt??dt??dt

65t2t3x13t21x3x31xx3x3?????23032x233232x31xx3x3xl99999993236326f??x?21,令f??0,得x??.因为0?x?1,所以x?.22f??0,得?x?12f??0,得0?x?因此，f的单调增区间是；单调减区间是.22

66由f???2x,可知为凹区间.

670,知f??为极小值.223x??特训题66、设y?x,则dy=【分析】本题属基本题型，幕指函数的求导问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】方法一：y?x二ey??e从而dyxlnxln,于是?[ln?x?cosx],l?sinxx??=y?dx???dx.l?sinx),对x求导，得方法二：两边取对数，lny?xln?,yl?sinx

68于是y???[ln?x?dy=y?dx???dx.cosx],故1?sinxx??特训题67、曲线y?x32的斜渐近线方程为【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=Limx???f?1im?l,x???xxx?xX3232

69b?lim?f?ax??limx???x????3,2于是所求斜渐近线方程为y?x?3.2f不存在，则应进x【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当x??时，极限a?limx??一步讨论X???或X???的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0,所以只考虑x???的情形.2特训题68、当x?0时，??kx与？?？xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k二【分析】题设相当于已知lim

70?1,由此确定k即可.x?0?27【详解】由题设，lim??xarcsinx?x?lim2x?0?x?Okxxarcsinx?l?cosxkx2=limx?0lxarcsinx?l?cosx33lim??lk?.,得2x?02k4k4x3n【评注】无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.特训题69、设函数f?lim?xn??，则f在内处处可导.恰有一个不可导点.

71恰有两个不可导点.至少有三个不可导点.口【分析】先求出f的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当X?1时,f?lim?xn??3n?1;当x?l时，n??当x?l时，f?limx?x.In3??x3,x??l,?即f??l,?l?x?l,可见f仅在x=?l时不可导，故应选.?x3,x?l.?【评注】本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点.特训题70、设函数f?Iexx?l，则？1x=0,x=1都是f的第一类间断点.x=0,x=l都是f的第二类间断点.x=0是f的第一类间断点，x=l是f的第二类间断点.x=0是f的第二类间断点，x=l是f的第一类间断点.口【分析】显然x=0,x=l为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数f在x=O,x=l点处无定义，因此是间断点.且limf??,所以x=0为第二类间断点；x?0

72f??l,所以x=l为第一类间断点，故应选.f?0,limlim??x?lX?1XX???lim???.从而limex?l???,limex?l?O.【评注】应特别注意：lim,????x?lx?lx?lx?lx?lx?l特训题71、若x?0时，？1与xsinx是等价无穷小，则a二.28124XX【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知lim中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】当x?0时，?「?124214?1,反过来求a.注意在计算过程x?Oxsinx

7321412ax,xsinxx2.4l?ax21于是，根据题设有lim?lim2??a?l,故4.x?Ox?0xsinx4x特训题72、设函数y=f由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线尸f在点处的切线方程是.【分析】先求出在点处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式xy?2lnx?y4两边直接对x求导，得y?xy??2?4y3y?,x将x=l,y=l代入上式，有y??l.故过点处的切线方程为y?l?l?,即x?y?O.特训题73、y?2x的麦克劳林公式中x项的系数是【分析】本题相当于先求尸f在点x=0处的n阶导数值f是【详解】因为y??21n2,y???2,?,y

74nnn,则麦克劳林公式中xn项的系数xx2?2xn,于是有yn?.y?,故麦克劳林公式中X项的系数是n!n!特训题74设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?O,limbn?1,limcn??,则必有n??n??n??an?bn对任意n成立.bn?cn对任意n成立.极限limancn不存在.极限limbncn不存在.口n??n??【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除，；而极限1imancn是0??型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限limbncn属1??型，必为无n??n??穷大量，即不存在.

75【详解】用举反例法，取an?21,bn?l,cn?n,则可立即排除，…因此n229正确选项为.?

76,x?0,??x?arcsinx6,x?0,特训题75设函数f??ax2?e?x?ax?lx?O,,?x?xsin4?问a为何值时，f在x=0处连续；a为何值时，x=0是f的可去间断点？【分析】分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即f?f?f.Inax3im【详解】f?limx?O?x?O?x?arcsinxx?O?x?arcsinx=lim?x?01?3ax2l?x2?lim?

77x?03ax2?x?l23ax2??6a.=limx?0?12?x2eax?x2?ax?lf?limf?limx?O?x?O?xxsin4eax?x2?ax?laeax?2x?a2?4lim?2a?4.=41im2x?0?x?0?2xx2令f?f,有?6a?2a?4,得a??l或a??2.当a=T时，limf?6?f,即f在x=0处连续.x?0当a=-2时，因而x=0是f的可去间断点.x?0【评注】本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算

78过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.?x?l?2t2,d2y?ul?21nte所确定，求2特训题76、设函数y=y由参数方程?y?dudx?lu??30x?9【分析】本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可.注意当x=9时，可相应地确定参数t的取值.dxdyel?21nt22et?4t,???【详解】由，dtdtl?21nttl?21ntdy2etdye得???,dxdx4t2dtd2yddyle?121?所以=???dx2dtdxdx22t4tdt

79.224t2当x=9时，由x?l?2t及t>l得t=2,故d2ydx2x?9??e4t22t?2??e.216特训题77、设f?limx，则f的间断点为X?.n??nx2?1【分析】

80本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出f的表达式,再讨论f的间断点.【详解】显然当x?0时，f?0;1xx?x?l,当x?0时，f?lim?lim2n??nx2?ln??lxx2x?n?0,x?0?所以f??l,,x?O??x因为limf?limx?01???fx?Ox故x?0为f的间断点.3??x?t?3t?l特训题78、设函数y由参数方程?确定,则曲线y?y向上凸的x取值范围为3??y?t?3t?l?x?x

81【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由？y?y?d2yd2yy??x??x??y?定义的求出二阶导数,再由2?0确定x的取值范围.?23dxdx)dydy3t2?3t2?12【详解】，？？2?2?1?2dx3t?3t?lt?ldtd2yd?dy?dt?2??14t9919999999・・•！•・・・,・・・・dx2dt?dx?dx?t2?l?333d2y?0?t?0.令2dx3又x?t?3t?l单调增，在t?0时，x?0特训题79、把x?0时的无穷小量?？??

82costdt,???2x20,???t3dt排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是999999•，•，••・，・，••999999•，・，••・，••【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】?x?0??lim?lim??x?0?0x0t3dt

83costdt?lim?x?03?lim?x?0x?lim?0,?x?0232即??o.??lim又limx?0?x?0

84x2?tanx?2x2x2?lim?lim?O,3x?0?x?0?xsinx202即??o.?、？，故选.从而按要求排列的顺序为？、特训题80、设f?x,则x?0是f的极值点，但不是曲线y?f的拐点.x?0不是f的极值点，但是曲线y?f的拐点.x?0是f的极值点,且是曲线y?f的拐点.x?0不是f的极值点，也不是曲线y?f的拐点.【分析】求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论x?0两方f?,f??的符号.【详解】f????x,?l?x?0，x,0?x?l???l?2x,?l?x?0，0?x?l?l?2x,?2,?l?x?0?2,0?x?l?

85f???f????从而？l?x?O时,f凹，l?x?O时,f凸，于是为拐点.1时，f?0,从而x?0为极小值点.又f?0,x?0、所以,x?0是极值点，是曲线y?f的拐点，故选.特训题81、设函数f连续,且f??0,则存在??0，使得f在内单调增加.f在内单调减小.对任意的x?有f?f.对任意的x?有f?f.【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数f在x?0附近的局部性质.【详解】由导数的定义知f??limx?0f?f?0,x?0由极限的性质，？??0,使x??时,有f?f?0x即？?x?0时,f?f,0时，f?f,???x?故选.1特训题82、求极限lim3x?Ox【分析】此极限属于

86??2?cosx?x?????l?.3999999型未定式.可利用罗必塔法则，并结合无穷小代换求解.0【详解1】原式?limx?0e?2?cosx?xln??3???1x3?2?cosx?ln??3???lim2x?0xln?ln3x?0x21??sinx)?limx?02xlIsinxl?????!im2x?02?cosxx6

87?lim【详解2】原式？limx?0e?2?cosx?xln??3???1x3?2?cosx?ln??3???limx?0x21n2x?limcosx?ll??x?03x26?,??）特训题83、设函数f在O?dy??y?y?dy?OO??y?dydy??y?O由f??0可知f

88严格单调增加f???0可知f是凹的即知特训题89、设函数g可微,h?el?g,h??l,g??2,则g等于ln3?l?ln2?l?ln3?lln2?lVh??g?el?g,l?2el?g特训题9。、试确定A,B,C的常数值，使ex?l?Ax?o其中。是当x?0时比x3的高阶无穷小.x2x3??。代入已知等式得解：泰勒公式e?l?x?26xx2x3[l?x???o][l?Bx?Cx2]?l?Ax?o26整理得ll??Bl?x?x2???C???o?l?Ax?o26??2比较两边同次幕函数得B+1=A①1二0②2Bl?C??0③26B12??0则B??式②-③得2331A?代入①得31C?代入②得6C+B+特训题91、设数列｛xn｝满足0?x1??,xn?l?sinxn证明：limxn?l存在，并求极限n??

89?xn?l?xn计算lim??n???xn?证:?x2?sinxl,?0?x2?l,因此n?2xn?l?sinxn?xn,{xn}单调减少有下界??xn?O?根据准则1,limxn?A存在n??在xn?l?sinxn两边取极限得A?sinA?A?O因此limxn?l?0n??1?sinxn?xn原式？lim?为〃1?〃型？n???xn??离散散不能直接用洛必达法则lit?t?sint?Ot???e先考虑lim??t?O?t?limll?sit?n?t?用洛必达法则？ell??t?02ttt?et?01imtcost?sint2t3?et?01im?t2??t3?t?l??0???t??0??2???6????2t3?e?ll?33????t?0?26?lim2t3t?0?el?a?16特训题92、证明：当O?a?b??时,bsinb?2cosb??b?asina?2cosa?证：令f?xsinx?2cosx??x只需证明O?a?x??时，f单调增加f??sinx?xcosx?2sinx???xcosx?sinx??f???cosx?xsinx?cosx??xsinx?O?f?单调减少又f???cos????0

90故O?a?x??时f??0则f单调增加由b?a则f?f得证?x?t2?l特训题93、已知曲线L的方程?2y?4t?t?讨论L的凹凸性过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程求此切线与L及x轴所围的平面图形的面积解：dxdydy4?2t2?2t,?4?2t,???ldtdtdx2tt?dy?d??ld2yl?2?l?dx?????????0?2?23dxdxdtt?t?2tdt?曲线L是凸?2?22,?1?,设xO?tO?1,y0?4t0?t0?t?切线方程为y?0??2则4t0?t0???2?2232?l?,4tO?tO??tO?2得t0?t0?2?0,?O?tO?O?tO?l点为，切线方程为y?x?l设L的方程x?g则S????g????dy3t?4t?y?0解出t?2得x?22?2?1

91由于在L上，由y?3得x?2可知x?2?2?l?gS???9?y???dy??0333???dy?400??4003332?21?4??23038642?21???3?333特训题94、当x?1??Ini.

92【答案】应选.【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当X?0时，有1????〜In.22特训题95、设函数f在x=0处连续，下列命题错误的是：ff?f存在，则f=0.若lim存在，则f=0.x?0x?0xxff?f若lim存在，则f?存在.若1im存在，则f?存在x?0x?0xx若1im[]【答案】应选.【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】，两项中分母的极限为0,因此

93分子的极限也必须为0,均可推导出f=0.若1imx?0ff?ff?lim?0,可见也正确,故应选.事存在，则f?0,f??limx?0x?0xx?0x实上，可举反例：f?x在x=0处连续，且limx?0x??xf?f?0存在，但f?x在x=0处不可导.=limx?0xxl?ln,渐近线的条数为x特训题96、曲线y?0.1.2.3.[]【答案】应选.【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】因为n]??,所以x?0为垂直渐近线；x?0Ixx又所以y=0为水平渐近线；x???lxxyllnInex]?lim?l,进一步，lim?lim[2?=limx???xx???xx???x???l?exxxlim[y?l?x]?lim[?ln?x]=lim[ln?x]x???x???x????xlxxx=lim[lne?x!?limln?O,x???x???x?x于是有斜渐近线：尸x.故应选.x3?x2?L特训题97、limx???2x?x3【答案】应填0.

94x3?x2?l?0,而sinx+cosx有界，故【详解】因为limx???2x?x3x3?x2?l=0.Iimx???2x?x31,则y.2x?312nn【答案】应填n!.33特训题98、设函数y?【详解】y??l,y???l?2yl2?x一般地，y?nn!?2n?n?l,从而yl2=nn!n.33特训题99、设函数y=y由方程ylny?x?y?0确定,试判断曲线尸y在点附近的凹凸性.【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导即得.【详解1】在ylny?x?y?0两边对x求导得y?lny?2y??l?0解得y??Uny?2?l?y?ly两边对x再求导得y???.??2y3将x=l,y=l代入得y????181由于二阶导函数y??在x=l的附近是连续函数，所以由y????,可知在x=l的附近有y??y=y在点附近是凸的.【详解2】在ylny?x?y?0两边对x求导得y?lny?2y??l?0

95两边对X再求导得y??lny?y??将x=l,y=l代入得上两式得y??ly??2y???0yll,y????2842由于二阶导函数y??在x=l的附近是连续函数,所以由v9999y在点附近是凸的.1,可知在x=l的附近有y??【详解3］将x看作y的函数,在ylny?x?y?O两边对y求导得x??lny?y?l?l?lny?2y两边再对y求导得x???ly将x=l,y=l代入得式得x???l.因为二阶导函数x??在y=l的附近是连续函数,所以由x???l可知在y=l的附近有x??>0,由此可知曲线x=x在点附近是凹的，故曲线y=y在点附近是凸的.特训题100、设函数f,g在［a,b］上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，f=g,f=g,证明：存在?？，使得f???g??.【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令F?f?g,则问题转化为证明F???0,只需对F?用罗尔定理，关键是找到F?的端点函数值相等的区间，而利用F=F=0,若能再找一点c?,使得F?0,则在区间［a,c］,［c,b］上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对F?用罗尔定理即可。

96【证明】构造辅助函数F?f?g,由题设有F=F=0.又f,g在内具有相等的最大值,不妨设存在xl?x2,xl,x2?使得f?M?maxf,g?M?maxg,[a,b][a,b]若xl?x2,令c?xl,则F?0.若xl?x2,因F?f?g?O,F?f?g?O,从而存在c?[xl,x2]?,使F?0.在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知，存在？1?,?2?,使得F??F??O.再对F?在区间[?1,?2]上应用罗尔定理，知存在??？，有F???0,即f???g???.43