闭区间上连续函数的性质及其应用

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1、陕西理工学院毕业设计题目闭区间上连续函数的性质及其应用学生姓名学号所在学院数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学（师范类）指导教师完成地点陕西理工学院2015年6月3日陕西理工学院毕业设计闭区间上连续函数的性质及其应用（陕理工数学与计算机科学学院数学与应用数学（师范类）专业1101班,陕西汉中）指导老师：[摘要]闭区间上的连续函数有一些基本性质,即：有界性,最值性,零点性,介值性以及一致连续性.本文先总结了闭区间上连续函数的定义以及闭区间上连续函数的性质.然后通过一些具体例子说明这些性质的具体应用,从

2、而加深对这些性质的理解.[关键词]闭区间上的连续函数;有界性;最值性;零点性;介值性;一致连续性1引言闭区间上连续函数的性质是数学分析里面的一个重点内容,这些性质在函数的分析中,理论研究中有着重大意义,起着非常重要的作用.事实上,关于闭区间连续函数的性质以及其性质的推广,人们一直在研究,虽然已经有很多发现,但是对于其性质的应用也并没有完全探讨到,还需要人们不断的学习、研究.本文就这些性质进行了一些总结性的探讨,通过直观性理解分析,从理论上论证了性质的存在性.在生活中,知道了一些事物的特性,就会利用这些特性

3、来达到其他的目的,那么在数学中也是一样,了解了闭区间上连续函数的性质,就要学以致用.闭区间上的连续函数的性质将有效的解决一些问题.2闭区间上连续函数的性质及证明定义1[1]如果函数在的邻域有定义,并且在的左右极限都等于,那么我们称在点处连续.定义2[1]函数在开区间上连续,在点右连续,在点左连续,我们就称函数是闭区间上的连续函数.2.1有界性的定理及证明定理1[2]若函数在闭区间连续,则函数在闭区间上有界.即存在,由闭区间上连续函数的定义可知,闭区间上连续函数是封闭的连续不断的曲线,在开区间上的函数在端点

4、是可以无限延伸的.函数在某点有极限,则就在某点有界,根据有限覆盖定理,就很容易知道函数在定义域上是有界的.证明：任取,因为在处连续,故存在,使得第10页共10页陕西理工学院毕业设计,区间族组成闭区间的一个开覆盖,因此存在有限子覆盖,记为.令.任取,设,则,这说明是有界的[3].如果上述条件改为开区间、半开半闭区间、无穷区间,有限覆盖定理的条件不充分,则函数不一定是有界函数[4].2.2最值性及证明定理2[5]设函数在闭区间上连续,则在函数上必有最大（小）值,即是说存在,使得对于任意,有,,则,就是函数的最

5、大值及最小值.由定理1知道,闭区间上的连续函数存在上、下界,由确界原理知,在这里只需要证明函数能取得上、下确界的值.证明：设为的上确界,存在,使得,否则有,对一切都有,令,,即有,在上连续,故在有上界,设是的一个上界,则,,从而推出,,第10页共10页陕西理工学院毕业设计这与为,的上确界矛盾,故必存在,使,即在有最大值,同理可证在上有最小值[5].2.3零点定理及证明定理3[6]若在上连续,,异号,则在至少有一点,使,则就称为函数的零点.函数是连续函数,且不妨设在函数曲线的上半轴,在函数曲线上的下半轴,如

6、下图所示则函数肯定与轴至少有一个交点.证明：不妨设,,取,如果,则定理得证,如果,则必与之一异号.记异号的区间为.继之得一列区间满足：（1）;（2）;（3）.由条件（1）,（2）知,为闭区间套,所以,使得,且,由知,由知,所以.定理得证[7].2.4介值定理及证明定理4[8]设在上连续,,且,则对与第10页共10页陕西理工学院毕业设计之间的任意数,至少有一点,使.由定义可以看出介值定理和零点定理有一定的相同点,这里利用零点定理可以直接推出介值定理,只需要在原函数加减一个常数.证明：设,则在上连续,且,,所

7、以,存在,使,即所以[8].2.5一致连续性的定理及证明定义3[9]设函数在区间或开,或闭,或半开半闭内,满足对任意的,可找到只与有关而与内的点无关的,使得对内任意两点,当,总有,就称在内一致连续.定义4[10]若存在常数,在定义域中对任意都有成立,则称在中满足Lipthitz条件.若在区间上满足Lipthitz条件,则在区间上必定一致连续.定理5[11]若在上连续,则在上一致连续.证明：假设对某一大于0,不能将将区间分成有限多个小段,设区间二等分得两个区间,,则这两个区间至少有一个不能分为有限多个小段,

8、记其为,再将区间二等分,依上述手续继续,得一序列区间,它满足：（1）……,且任一区间都不能分为有限多个小段,使在其上任两点的函数值差小于.（2）当时.第10页共10页陕西理工学院毕业设计由区间套定理,存在唯一的一点,而在点连续,按连续的定义,有,使时,有,而,则可以取充分大的,使,那么对上的任意一点都有,因此对上任意两点都有,这表明能分为有限多个小段,使在每一小段上任两点的函数值之差小于,这与区间的定义矛盾,故定理得证[11]