小学数学奥数基础教程

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第1讲加减法的巧算　　在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果求和。这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。　　先讲加法的巧算。加法具有以下两个运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即　　a+b=b+a，　　其中a，b各表示任意一数。例如，5+6=6+5。　　一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。例如，　　a+b+c+d=d+b+a+c=…　　其中a，b，c，d各表示任意一数。加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。即　　a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，　　其中a，b，c各表示任意一数。例如，4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7)。　　一般地，多个数(三个以上)相加，可先对其中几个数相加，再与其它数相加。　　把加法交换律与加法结合律综合起来应用，就得到加法的一些巧算方法。1.凑整法　　先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其它的数相加。例1计算：(1)23＋54＋18＋47＋82；(2)(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)。解：(1)23＋54＋18＋47＋82＝(23＋47)＋(18＋82)＋54＝70＋100＋54＝224；(2)(1350＋49＋68)＋(51＋32＋1650)＝1350＋49＋68＋51＋32+1650　　＝(1350＋1650)＋(49＋51)＋(68＋32)＝3000＋100＋100＝3200。2.借数凑整法　　有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。例如，计算976＋85，可在85中借出24，即把85拆分成24＋61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。例2计算：(1)57＋64＋238＋46；(2)4993＋3996＋5997＋848。解：(1)57＋64＋238＋46＝57＋(62＋2)＋238＋(43＋3)　　＝(57＋43)＋(62＋238)＋2＋3＝100＋300＋2＋3＝405；(2)4993＋3996＋5997＋848=4993＋3996＋5997＋(7＋4＋3＋834)　　=(4993＋7)＋(3996＋4)＋(5997＋3)＋834=5000＋4000＋6000＋834＝15834。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

1　　下面讲减法和加减法混合运算的巧算。加、减法有如下一些重要性质：(1)在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。例如，　　a-b-c＝a-c-b，a-b+c＝a+c-b，　　其中a，b，c各表示一数。(2)在加、减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“-”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“-”，“-”变为“＋”。例如，　　a＋(b-c)=a+b-c，　　a-(b＋c)=a-b-c，　　a-(b-c)=a-b+c。(3)在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”号，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“-”号，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“-”变为“＋”。例如，　　a＋b-c＝a＋(b-c)，　　a-b＋c=a-(b-c)，　　a-b-c＝a-(b＋c)。　　灵活运用这些性质，可得减法或加、减法混合计算的一些简便方法。　　3.分组凑整法例3计算：(1)875-364-236；(2)1847-1928＋628-136-64；(3)1348-234-76＋2234-48-24。解：(1)875-364-236　　=875-(364＋236)　　=875-600=275；(2)1847-1928＋628-136-64　　=1847-(1928-628)-(136＋64)　　=1847-1300-200＝347；(3)1348-234-76＋2234-48-24　　=(1348-48)+(2234-234)-(76＋24)　　=1300＋2000-100＝3200。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

2　　4.加补凑整法例4计算：(1)512-382；(2)6854-876-97；(3)397-146＋288-339。解：(1)512-382=(500＋12)-(400-18)　　=500+12-400+18　　＝(500-400)＋(12＋18)　　＝100＋30＝130；(2)6854-876-97　　=6854-(1000-124)-(100-3)　　=6854-1000＋124-100＋3　　=5854+24+3＝5881；(3)397-146＋288-339　　＝397＋3-3-146＋288＋12-12-339　　＝(397＋3)＋(288＋12)-(146＋3＋12＋339)　　＝400＋300-500=200。练习1　　巧算下列各题：　　1.42＋71＋24＋29＋58。　　2.43+(38＋45)＋(55＋62＋57)。　　3.698＋784＋158。　　4.3993+2996+7994＋135。　　5.4356＋1287-356。　　6.526-73-27-26。　　7.4253-(253-158)。　　8.1457-(185＋457)。　　9.389-497＋234。　　10.698-154+269+787。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

3第2讲横式数字谜(一)　　在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。　　例如，求算式324+□=528中□所代表的数。　　根据“加数=和-另一个加数”知，　　□=582-324＝258。　　又如，求右竖式中字母A，B所代表的数字。显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。　　解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。　　这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。　　解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：(1)一个加数+另一个加数=和；(2)被减数-减数=差；(3)被乘数×乘数=积；(4)被除数÷除数=商。　　由它们推演还可以得到以下运算规则：　　由(1)，得和-一个加数=另一个加数；　　其次，要熟悉数字运算和拆分。例如，8可用加法拆分为　　8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；　　24可用乘法拆分为　　24＝1×24=2×12＝3×8＝4×6(两个数之积)　　=1×2×12＝2×2×6=…(三个数之积)　　=1×2×2×6＝2×2×2×3=…(四个数之积)例1下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？(1)□+5＝13-6；(2)28-○＝15＋7；(3)3×△=54；(4)☆÷3＝87；(5)56÷*＝7。解：(1)由加法运算规则知，□=13-6-5＝2；(2)由减法运算规则知，○＝28-(15＋7)＝6；ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

4(3)由乘法运算规则知，△＝54÷3＝18；(4)由除法运算规则知，☆=87×3＝261；(5)由除法运算规则知，*＝56÷7＝8。例2下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？(1)□+□+□=48；(2)○＋○＋6＝21-○；(3)5×△-18÷6＝12；(4)6×3-45÷☆＝13。解：(1)□表示一个数，根据乘法的意义知，　□+□+□=□×3，　　故□=48÷3＝16。(2)先把左端(○＋○＋6)看成一个数，就有(○＋○＋6)＋○＝21，○×3＝21-6，　　○＝15÷3＝5。(3)把5×△，18÷6分别看成一个数，得到5×△=12＋18÷6，　　5×△=15，　　△=15÷5＝3。(4)把6×3，45÷☆分别看成一个数，得到　45÷☆＝6×3-13，　　45÷☆＝5，　☆＝45÷5＝9。例3(1)满足58＜12×□＜71的整数□等于几？(2)180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的？试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。　　180=□×□×□×□。(3)若数□，△满足　　□×△=48和□÷△=3，　　则□，△各等于多少？分析与解：(1)因为　　58÷12＝4……10，71÷12＝5……11，　　并且□为整数，所以，只有□=5才满足原式。(2)拆分180为四个整数的乘积有很多种方法，如　　180＝1×4×5×90＝1×2×3×30＝…　　但拆分成四个“大于1”的数字的乘积，范围就缩小了，如　　180＝2×2×5×9＝2×3×5×6＝…　　若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种：　　180＝2×3×5×6。　　所以填的四个数字依次为2，3，5，6。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

5(3)首先，由□÷△=3知，□＞△，因此，在把48拆分为两数的乘积时，有　　48＝48×1＝24×2＝16×3＝12×4＝8×6，　　其中，只有48＝12×4中，12÷4=3，因此　　□=12，△=4。　　这道题还可以这样解：由□÷△=3知，□=△×3。把□×△=48中的□换成△×3，就有　　(△×3)×△＝48，　　于是得到△×△=48÷3＝16。因为16＝4×4，所以△=4。再把□=△×3中的△换成4，就有　　□=△×3=4×3=12。　　这是一种“代换”的思想，它在今后的数学学习中应用十分广泛。　　下面，我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。例4在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立：(1)4444＝24；(2)55555=6。解：(1)因为4＋4＋4＋4＜24，所以必须填一个“×”。4×4＝16，剩下的两个4只需凑成8，因此，有如下一些填法：　　4×4＋4＋4＝24；　　4＋4×4＋4＝24；　　4＋4＋4×4＝24。(2)因为5+1=6，等号左端有五个5，除一个5外，另外四个5凑成1，至少要有一个“÷”，有如下填法：　　5÷5+5-5+5＝6；　　5＋5÷5＋5-5＝6；　　5＋5×5÷5÷5=6；　　5＋5÷5×5÷5＝6。　　由例4看出，填运算符号的问题一般会有多个解。这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的，如果只是盲目地“试算”，那么就可能走很多弯路。例5在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立：　　823＝33。分析与解：首先考察右端“33”，它有四种填法：　　3+3＝6；3-3＝0；　　3×3＝9；3÷3=1。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

6　　再考察左端“823”，因为只有一个奇数3，所以要想得到奇数，3的前面只能填“＋”或“-”，要想得到偶数，3的前面只能填“×”。经试算，只有两种符合题意的填法：　　8-2＋3＝3×3；8÷2-3＝3÷3。　　填运算符号可加深对四则运算的理解和认识，也是培养分析能力的好内容。练习2　　1.在下列各式中，□分别代表什么数？　　□+16＝35；47-□=12；□-3＝15；　　4×□=36；□÷4=15；84÷□=4。　　2.在下列各式中，□，○，△，☆各代表什么数？　　(□+350)÷3=200；(54-○)×4＝0；　　360-△×7＝10；4×9-☆÷5=1。　　3.在下列各式中，□，○，△各代表什么数？　　150-□-□=□；　　○×○＝○＋○；　　△×9＋2×△=22。　　4.120是由哪四个不同的一位数字相乘得到的？试把这四个数字按从小到大的次序填在下式的□里：　　120＝□×□×□×□。　　5.若数□，△同时满足　　□×△=36和□-△=5，　　则□，△各等于多少？　　6.在两数中间添加运算符号，使下列等式成立：(1)55555＝3；(2)1234＝1。　　7.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立：　　12□4□4=10□3。　　8.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立：　　123□45□67□89＝100；　　123□45□67□8□9＝100；　　123□4□5□67□89＝100；　　123□4□5□6□7□8□9＝100；　　12□3□4□5□67□8□9＝100；　　1□23□4□56□7□8□9＝100；　　12□3□4□5□6□7□89＝100。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

7第3讲竖式数字谜(一)　　　　这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问题。解加、减法数字谜问题的基本功，在于掌握好上一讲中介绍的运算规则(1)(2)及其推演的变形规则，另外还要掌握数的加、减的“拆分”。关键是通过综合观察、分析，找出解题的“突破口”。题目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同。这需要通过不断的“学”和“练”，逐步积累知识和经验，总结提高解题能力。例1在右边的竖式中，A，B，C，D各代表什么数字？解：显然，C=5，D=1(因两个数　　字之和只能进一位)。　　由于A＋4＋1即A＋5的个位数为3，且必进一位(因为4＞3)，所以A＋5=13，从而A＝13-5=8。　　同理，由7＋B＋1=12，即B＋8＝12，得到B＝　　12-8＝4。　　故所求的A=8，B=4，C=5，D=1。例2求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和：分析与解：(1)由于和的个位数字是9，两个加数的个位数字之和不大于9＋9＝18，所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。(这是“突破口”)　　再由两个加数的个位数之和未进位，因而两个加数的十位数字之和就是14。　　故这两个加数的四个数字之和是9＋14=23。(2)由于和的最高两位数是19，而任何两个一位数相加的和都不超过18，因此，两个加数的个位数相加后必进一位。(这是“突破口”，与(1)不同)　　这样，两个加数的个位数字相加之和是15，十位数字相加之和是18。　　所求的两个加数的四个数字之和是15＋18＝33。　　注意：(1)(2)两题虽然题型相同，但两题的“突破口”不同。(1)是从和的个位着手分析，(2)是从和的最高两位着手分析。例3在下面的竖式中，A，B，C，D，E各代表什么数？分析与解：解减法竖式数字谜，与解加法竖式数字谜的分析方法一样，所不同的是“减法”。　　首先，从个位减起(因已知差的个位是5)。4＜5，要使差的个位为5，必须退位，于是，由14-D＝5知，D=14-5＝9。(这是“突破口”)　　再考察十位数字相减：由B-1-0＜9知，也要在百位上退位，于是有10＋B-1-0＝9，从而B＝0。　　百位减法中，显然E=9。　　千位减法中，由10＋A-1-3＝7知，A＝1。　　万位减法中，由9-1-C＝0知，C＝8。　　所以，A＝1，B＝0，C＝8，D＝9，E＝9。例4在下面的竖式中，“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。请把这个文字式写成符合题意的数字式。分析与解：例3是从个位着手分析，而这里就只能从首位着手分析。　　由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知，“炮”＝1。　　被减数与减数的百位数相同，其相减又是退位相减，所以，“马”＝9。至此，我们已得到下式：　　由上式知，个位上的运算也是退位减法，由11-“车”=9得到“车”＝2。　　因此，符合题意的数字式为：例5在右边的竖式中，“巧，填，式，谜”分别代表不同的数字，它们各等于多少？解：由(4×谜)的个位数是0知，“谜”＝0或5。　　当“谜”＝0时，(3×式)的个位数是0，推知“式”＝0，与“谜”≠“式”矛盾。　　当“谜”＝5时，个位向十位进2。　　由(3×式+2)的个位数是0知，“式”＝6，且十位要向百位进2。　　由(2×填+2)的个位数是0，且不能向千位进2知，“填”＝4。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

8　　最后推知，“巧”＝1。　　所以“巧”＝1，“填”＝4，“式”=6，“谜”＝5。 练习3 　　1.在下列各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立：　　2.下列各竖式中，□里的数字被遮盖住了，求各竖式中被盖住的各数字的和：　　3.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立：　　4.下式中不同的汉字代表1～9中不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。这个竖式的和是多少？　　5.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立：ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

9第4讲竖式数字谜(二)　　本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。　　掌握好乘、除法的基本运算规则(第2讲的公式(3)(4)及推演出的变形式子)是解乘、除法竖式谜的基础。根据题目结构形式，通过综合观察、分析，找出“突破口”是解题的关键。例1在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。分析与解：由于积的个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，另一个是奇数。因为乘积大于被乘数的7倍，所以乘数是大于7的奇数，即只能是9(这是问题的“突破口”)，被乘数的个位数是5。　　因为7×9＜70＜8×9，所以，被乘数的百位数字只能是7。至此，求出被乘数是785，乘数是9(见右上式)。例2在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立。分析与解：由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高位入手分析。　　乘积的最高两位数是2□，被乘数的最高位是3，由　　可以确定乘数的大致范围，乘数只可能是6，7，8，9。到底是哪一个呢？我们只能逐一进行试算：(1)若乘数为6，则积的个位填2，并向十位进4，此时，乘数6与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是5(因4+5=9)。这样一来，被乘数的十位上就无数可填了。这说明乘数不能是6。(2)若乘数为7，则积的个位填9，并向十位进4。与(1)分析相同，为使积的十位是9，被乘数的十位只能填5，从而积的百位填4。得到符合题意的填法如右式。(3)若乘数为8，则积的个位填6，并向十位进5。为使积的十位是9，被乘数的十位只能填3或8。　　当被乘数的十位填3时，得到符合题意的填法如右式。当被乘数的十位填8时，积的最高两位为3，不合题意。(4)若乘数为9，则积的个位填3，并向十位进6。为使积的十位是9，被乘数的十位只能填7。而此时，积的最高两位是3，不合题意。　　综上知，符合题意的填法有上面两种。　　除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。例3在左下边除法竖式的□中填入适当的数，使竖式成立。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

10分析与解：由48÷8=6即8×6=48知，商的百位填6，且被除数的千位、百位分别填4，8。又显然，被除数的十位填1。由　　1□=商的个位×8　　知，两位数1□能被8除尽，只有16÷8=2，推知被除数的个位填6，商的个位填2。填法如右上式。例3是从最高位数入手分析而得出解的。例4在右边除法竖式的□中填入合适的数字。使竖式成立。分析与解：从已知的几个数入手分析。　　首先，由于余数是5，推知除数＞5，且被除数个位填5。　　由于商4时是除尽了的，所以，被除数的十位应填2，且由于3×4=12，8×4=32，推知，除数必为3或8。由于已经知道除数＞5，故除数=8。(这是关键！)　　从8×4=32知，被除数的百位应填3，且商的百位应填0。　　从除数为8，第一步除法又出现了4，8×8=64，8×3=24，这说明商的千位只能填8或3。试算知，8和3都可以。所以，此题有下面两种填法。　练习4　　1.在下列各竖式的□里填上合适的数：　　　　2.在右式中，“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时，乘法竖式成立？　　　3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数字，它　　们各等于多少时，右边的乘法竖式成立？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

11　　4.在下列各除法竖式的□里填上合适的数，使竖式成立：　　　　5.在下式的□里填上合适的数。　ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

12第5讲找规律(一)　　这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。　　按一定次序排列的一列数就叫数列。例如，(1)1，2，3，4，5，6，…(2)1，2，4，8，16，32；(3)1，0，0，1，0，0，1，…(4)1，1，2，3，5，8，13。　　一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。一般地，我们将数列的第n项记作an。　　数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。　　许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。　　数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项an＝n。　　数列(2)的规律是：后项=前项×2，或第n项　　数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。　　数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即　　a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a6=3+5=8，a7=5+8=13。　　常见的较简单的数列规律有这样几类：　　第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。例如数列(1)(2)。　　第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)。　　第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。例1找出下列各数列的规律，并按其规律在()内填上合适的数：(1)4，7，10，13，()，…(2)84，72，60，()，()；(3)2，6，18，()，()，…(4)625，125，25，()，()；(5)1，4，9，16，()，…(6)2，6，12，20，()，()，…解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现(1)的规律是：前项+3=后项。所以应填16。(2)的规律是：前项-12=后项。所以应填48，36。(3)的规律是：前项×3=后项。所以应填54，162。(4)的规律是：前项÷5=后项。所以应填5，1。(5)的规律是：数列各项依次为　　1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，　　所以应填5×5=25。(6)的规律是：数列各项依次为　　2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，　　所以，应填5×6=30，6×7=42。　　说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an可以用n来表示。各数列的第n项分别可以表示为(1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n；(3)an＝2×3n-1；(4)an＝55-n；(5)an＝n2；(6)an＝n(n+1)。　　这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列(1)的第100项等于3×100+1=301。本例中，数列(2)(4)只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。例2找出下列各数列的规律，并按其规律在()内填上合适的数：(1)1，2，2，3，3，4，()，()；(2)()，()，10，5，12，6，14，7；(3)3，7，10，17，27，()；(4)1，2，2，4，8，32，()。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

13解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。(1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。(2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。(3)这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填(17+27=)44。(4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(8×32=)256。例3找出下列各数列的规律，并按其规律在()内填上合适的数：(1)18，20，24，30，()；(2)11，12，14，18，26，()；(3)2，5，11，23，47，()，()。解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列2，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故　　a5=8+30=38。(2)12-11=1，14-12=2，18-14=4，26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，…按此规律，8后面为16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。(3)观察数列前、后项的关系，后项=前项×2+1，所以　　a6=2a5+1＝2×47+1＝95，　　a7＝2a6+1＝2×95+1=191。例4找出下列各数列的规律，并按其规律在()内填上合适的数：(1)12，15，17，30，22，45，()，()；(2)2，8，5，6，8，4，()，()。解：(1)数列的第1，3，5，…项组成一个新数列12，17，22，…其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；数列的第2，4，6，…项组成一个新数列15，30，45，…其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。故应填27，60。(2)如(1)分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，…中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4，…中，4后面的数应为2。故应填11，2。   练习5　　　　按其规律在下列各数列的()内填数。　　1.56，49，42，35，()。　　2.11，15，19，23，()，…　　3.3，6，12，24，()。　　4.2，3，5，9，17，()，…　　5.1，3，4，7，11，()。　　6.1，3，7，13，21，()。　　7.3，5，3，10，3，15，()，()。　　8.8，3，9，4，10，5，()，()。　　9.2，5，10，17，26，()。　　10.15，21，18，19，21，17，()，()。　　11.数列1，3，5，7，11，13，15，17。(1)如果其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？(2)如果其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

14第6讲找规律(二)　　这一讲主要介绍如何发现和寻找图形、数表的变化规律。例1观察下列图形的变化规律，并按照这个规律将第四个图形补充完整。分析与解：观察前三个图，从左至右，黑点数依次为4，3，2个，并且每个图形依次按逆时针方向旋转90°，所以第四个图如右图所示。　　观察图形的变化，主要从各图形的形状、方向、数量、大小及各组成部分的相对位置入手，从中找出变化规律。例2在下列各组图形中寻找规律，并按此规律在“？”处填上合适的数：　　　　解：(1)观察前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半，故　　第三个图形中的“？”=5×3×8÷2=60；　　第四个图形中的“？”=(21×2)÷3÷2=7。(2)观察前两个图形中的已知数，发现有　　10=8+5-3，8=7+4-3，　　即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数。故　　第三个图形中的“？”=12+1-5=8；　　第四个图形中的“？”=7+1-5=3。例3寻找规律填数：　　解：(1)考察上、下两数的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那个“？”=35-16=19，下面那个“？”=18+16=34。(2)从左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，…知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，…知，9下面的“？”=14。例4寻找规律在空格内填数：ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

15　　　　解：(1)因为前两图中的三个数满足：　　256=4×64，72=6×12，　　所以，第三图中空格应填12×15=180；第四图中空格应填169÷13=13。第五图中空格应填224÷7=32。(2)图中下面一行的数都是上一行对应数的3倍，故43下面应填43×3=129；87上面应填87÷3=29。例5在下列表格中寻找规律，并求出“？”：　　解：(1)观察每行中两边的数与中间的数的关系，发现3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。(2)观察每列中三数的关系，发现1+3×2=7，7+2×2=11，所以，？=4+5×2=14。例6寻找规律填数：(1)(2)解：(1)观察其规律知(2)观察其规律知：　　观察比较图形、图表、数列的变化，并能从图形、数量间的关系中发现规律，这种能力对于同学们今后的学习将大有益处。  练习6　　寻找规律填数：　　ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

16　　　　　　　　　　　6.下图中第50个图形是△还是○？　　○△○○○△○○○△○…ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

17第7讲加减法应用题　　用数学方法解决人们生活和工作中的实际问题就产生了通常所说的“应用题”。　　应用题由已知的“条件”和未知的“问题”两部分构成，而且给出的已知条件应能保证求出未知的问题。　　这一讲主要介绍利用加、减法解答的简单应用题。例1小玲家养了46只鸭子，24只鸡，养的鸡和鹅的总只数比养的鸭多5只。小玲家养了多少只鹅？解：将已知条件表示为下图：　　　表示为算式是：24+？=46+5。由此可求得养鹅　　(46+5)-24=27(只)。　　答：养鹅27只。　　若例1中鸡和鹅的总数比鸭少5只(其它不变)，则已知条件可表示为下图，　　表示为算式是：24+？+5=46。由此可求得养鹅　　46-5-24=17(只)。例2一个筐里装着52个苹果，另一个筐里装着一些梨。如果从梨筐里取走18个梨，那么梨就比苹果少12个。原来梨筐里有多少个梨？　　分析：根据已知条件，将各种数量关系表示为下图。　　有几种思考方法：(1)根据取走18个梨后，梨比苹果少12个，先求出梨筐里现有梨52-12=40(个)，再求出原有梨　　(52-12)+18=58(个)。(2)根据取走18个梨后梨比苹果少12个，我们设想“少取12个”梨，则现有的梨和苹果一样多，都是52个。这样就可先求出原有梨比苹果多18-12＝6(个)，再求出原有梨　　52+(18-12)=58(个)。(3)根据取走18个梨后梨比苹果少12个，我们设想不取走梨，只在苹果筐里加入18个苹果，这时有苹果　　52+18=70(个)。　　这样一来，现有苹果就比原来的梨多了12个(见下图)。由此可求出原有梨(52+18)-12=58(个)。　　由上面三种不同角度的分析，得到如下三种解法。　　解法1：(52-12)+18=58(个)。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

18　　解法2：52+(18-12)=58(个)。　　解法3：(52+18)-12=58(个)。　　答：原来梨筐中有58个梨。例3某校三年级一班为欢迎“手拉手”小朋友们的到来，买了若干糖果。已知水果糖比小白兔软糖多15块，巧克力糖比水果糖多28块。又知巧克力糖的块数恰好是小白兔软糖块数的2倍。三年级一班共买了多少块糖果？分析与解：只要求出某一种糖的块数，就可以根据已知条件得到其它两种糖的块数，总共买多少就可求出。先求出哪一种糖的块数最简便呢？我们先把已知条件表示为下图。　　由上图可求出，　　小白兔软糖块数=15+28=43(块)，　　水果糖块数=43+15=58(块)，　　巧克力糖块数=43×2=86(块)。　　糖果总数=43+58+86=187(块)。　　答:共买了187块糖果。例4一口枯井深230厘米，一只蜗牛要从井底爬到井口处。它每天白天向上爬110厘米，而夜晚却要向下滑70厘米。这只蜗牛哪一个白天才能爬出井口？分析与解：因蜗牛最后一个白天要向上爬110厘米，井深230厘米减去这110厘米后(等于120厘米)，就是蜗牛前几天一共要向上爬的路程。　　因为蜗牛白天向上爬110厘米，而夜晚又向下滑70厘米，所以它每天向上爬110-70=40(厘米)。　　由于120÷40=3，所以，120厘米是蜗牛前3天一共爬的。故第4个白天蜗牛才能爬到井口。　　若将例4中枯井深改为240厘米，其它数字不变，这只蜗牛在哪个白天才能爬出井口？(第5个白天)  练习7　　1.甲、乙、丙三人原各有桃子若干个。甲给乙2个，乙给丙3个，丙又给甲5个后，三人都有桃子9个。甲、乙、丙三人原来各有桃子多少个？　　2.三座桥，第一座长287米，第二座比第一座长85米，第三座比第一座与第二座的总长短142米。第三座桥长多少米？　　3.(1)幼儿园小班有巧克力糖40块，还有一些奶糖。分给小朋友奶糖24块后，奶糖就比巧克力糖少了10块。原有奶糖多少块？　　(2)幼儿园中班有巧克力糖48块，还有一些奶糖。分给小朋友奶糖26块后，奶糖就只比巧克力糖多18块。原有奶糖多少块？　　4.一桶柴油连桶称重120千克，用去一半柴油后，连桶称还重65千克。这桶里有多少千克柴油？空桶重多少？　　5.一只蜗牛从一个枯水井底面向井口处爬，白天向上爬110厘米，而夜晚向下滑40厘米，第5天白天结束时，蜗牛到达井口处。这个枯水井有多深？　　若第5天白天爬到井口处，这口井至少有多少厘米深？(厘米以下的长度不计)　　6.在一条直线上，A点在B点的左边20毫米处，C点在D点左边50毫米处，D点在B点右边40毫米处。写出这四点从左到右的次序。　　7.(1)五个不同的数的和为172，这些数中最小的数为32，最大的数可以是多少？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

19　　(2)六个不同的数的和为356，这些数中，最大的是68，最小的数可以是多少？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

20第8讲乘除法应用题　　本讲向同学们介绍如何利用乘、除法解答简单应用题。用乘、除法解应用题，首先要明确下面几个关系，然后根据应用题中的已知条件，利用这些数量关系求解。　　被乘数×乘数=乘积，相同数×个数=总数，　　小数×倍数=大数，　　被除数÷除数=商，被除数÷商=除数，　　被除数÷除数=(不完全)商……余数。例1学校开运动会，三年级有86人报名参加单项比赛，其他年级参加单项比赛的人数是三年级的4倍少5人。全校参加单项比赛的人数有多少人？　　分析：先求出其他年级参赛人数，　　86×4-5＝339(人)，　　再加上三年级参赛人数，就可求出全校参赛人数。解：(86×4-5)＋86＝425(人)。　　答：全校参赛425人。　　本题中全校参赛人数也可以看成是三年级参赛人数的5倍少5人，所以可列式为　　86×5-5＝425(人)。例2有5只猴子，其中2只各摘了7个桃子，另外3只各摘了12个桃子。把所有摘下的桃子平均分给这5只猴子，每只猴子能分到多少个桃子？解：共摘桃子7×2＋12×3＝50(个)，　　平均每只猴可分50÷5＝10(个)。　　综合算式(7×2＋12×3)÷5＝10(个)。　　答：每只猴子能分到10个桃。例3小白兔上山采摘了许多蘑菇。它把这些蘑菇先平均分成4堆，3堆送给它的小朋友，自己留一堆。后来它又把留下的这一堆平均分成3堆，两堆送给别的小白兔，一堆自己吃。自己吃的这一堆有5个。它共采摘了多少个蘑菇？　　分析：我们从后向前分析。当分成3堆时，共有5×3＝15(个)，这是分成4堆时每一堆的个数。所以，分成4堆时，共有15×4＝60(个)。解：(5×3)×4＝15×4=60(个)。　　答：共摘了60个蘑菇。例4小雨到奶奶家。如果来回都乘车，那么路上要用20分钟。如果去时乘车，回来时步行，那么一共要用50分钟。小雨步行回来用多少时间？　　分析：来回都乘车用20分，所以乘车单程所用的时间是20÷2=10(分)。去时乘车回来时步行共用50分，减掉去时乘车用的10分，回来时步行用了　　50-10＝40(分)。解：50-20÷2=40(分)。　　答：步行回来用40分钟。例5师徒二人加工同样的机器零件。师傅加工的个数是徒弟的4倍，其个数比徒弟多54个。师徒二人这天各加工了多少个零件？　　分析：如下图所示，把徒弟加工的个数看成“1份”，师傅加工的就是“4份”，因而师傅比徒弟多(4-1)份。由上图可求得1份为54÷(4-1)=18(个)，由此可求出师徒二人各加工了多少个零件。解：徒弟加工了54÷(4-1)=18(个)，　　师傅加工了18×4＝72(个)。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

21　　答：徒弟加工了18个，师傅加工了72个。　　解这类题的关键是分析出“54”是如何多出来的，即弄明白用“倍数-1”来除它，所得的数代表什么。例6工厂装配四轮推车，1个车身要配4个车轮。现在有40个车身，70个车轮。问：装配出多少辆四轮推车后，剩下的车身和车轮的数量相等？　　分析：1个车身配4个车轮，即每装配出一辆四轮推车，用的车轮数比车身数多4-1=3(个)。现在车轮比车身多70-40＝30(个)，要把这30个车轮“消耗掉”，需装配30÷3＝10(辆)四轮车。解：(70-40)÷(4-1)＝10(辆)。　　答：需装配出10辆四轮推车。  练习8　　1.某项工作3人做需要3个星期又3天，中间无休息日，那么，1人单独做这项工作需要多少天？　　2.贺林家养鸡的只数是鹅的只数的6倍，鸭比鹅多8只，鸭有15只。贺林家养了多少只鸡？　　3.小敏买了一本书和一包糖。买一本书用了3元6角，买糖用的钱数是买书所用钱数的5倍。她带去的50元钱还剩多少？　　4.小峰去老师家看望老师。如果往返都骑自行车，那么在路上要用1时20分。如果去时骑自行车，回来时步行，那么一共要用2时30分。小峰步行回来用多少时间？　　5.4元钱能买西瓜8千克，10元钱能买多少西瓜？　　6.小兰有24本书，小玲有18本书。小兰要给小玲几本书，两人的书才一样多？　　7.小红与小光买拼音本。小红买了12本，小光买了8本。小红比小光多用2元4角钱。每本多少钱？　　8.甲、乙两辆汽车分别从同一车站出发，沿相反方向开去，3时共行360千米。甲的速度是乙的速度的2倍。甲、乙的速度各是多少？　　9.甲、乙两个粮库共存粮150吨。甲库运出40吨，乙库运入10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍。甲、乙粮库原来存粮各多少？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

22第9讲平均数　　把一个(总)数平均分成几个相等的数，相等的数的数值就叫做这个(总)数的平均数。例如，24平均分成四个数：6，6，6，6，数6就叫做24分成四份的平均数。又如，24平均分成六个数：4，4，4，4，4，4，数4就叫做24分成六份的平均数。　　由此可见，平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而言的。知道了被均分的“总数”和均分的“份数”，就可以求出平均数：总数÷份数=平均数。　　“平均数”这个数学概念在我们的日常生活和工作中经常用到。例如，某次考试全班同学的“平均成绩”，几件货物的“平均重量”，某辆汽车行驶某段路程的“平均速度”等等，都是我们经常碰到的求平均数的问题。根据求平均数的一般公式可以得到它们的计算方法：　　全班同学的总成绩÷全班同学人数=平均成绩，　　几件货物的总重量÷货物件数=平均重量，　　一辆汽车行驶的路程÷所用的时间=平均速度。　　我们在上一讲的例2中，已经接触到求平均数的应用题，下面再举一些例子来说明有关平均数应用问题的解法。例1一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。他们的平均成绩是多少？解：总成绩=98＋87＋93＋86＋88＋94＝546(分)。　　这个小组有6个同学，平均成绩是　　546÷6＝91(分)。　　答：平均成绩是91分。例2把40千克苹果和80千克梨装在6个筐内(可以混装)，使每个筐装的重量一样。每筐应装多少千克？解：苹果和梨的总重量为　　40＋80＝120(千克)。　　因要装成6筐，所以，每筐平均应装　　120÷6＝20(千克)。　　答：每筐应装20千克。例3小明家先后买了两批小猪，养到今年10月。第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千克。小明家养的猪平均多重？解：两批猪的总重量为ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

23　　66×3＋42×5＝408(千克)。　　两批猪的头数为3＋5＝8(头)，故平均每头猪重　　408÷8＝51(千克)。　　答：平均每头猪重51千克。　　注意，在上例中不能这样来求每头猪的平均重量：　　(66＋42)÷2＝54(千克)。　　上式求出的是两批猪的“平均重量的平均数”，而不是(3＋5＝)8头猪的平均重量。这是刚接触平均数的同学最容易犯的错误！例4一个学生为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周(一周为7天)平均每天做4道数学竞赛训练题。星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做了13道。那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？　　分析：要先求出每周规定做的题目总数，然后求出星期一至星期六已做的题目数。两者相减就是星期日要完成的题目数。　　每周要完成的题目总数是4×7=28(道)。星期一至星期六已做题目3×3＋13＝22(道)，所以，星期日要完成28-22＝6(道)。解：4×7-(3×3＋13)＝6(道)。　　答：星期日要做6道题。例5三年级二班共有42名同学，全班平均身高为132厘米，其中女生有18人，平均身高为136厘米。问：男生平均身高是多少？解：全班身高的总数为　　132×42＝5544(厘米)，　　女生身高总数为　　136×18＝2448(厘米)，　　男生有42-18＝24(人)，身高总数为　　5544-2448＝3096(厘米)，　　男生平均身高为　　3096÷24＝129(厘米)。　　综合列式：　　(132×42-136×18)÷(42-18)＝129(厘米)。　　答：男生平均身高为129厘米。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

24例6小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分。问：英语得了多少分？　　分析：英语比平均成绩高的这4分，是“补”给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为　　(92＋90＋4)÷2＝93(分)，　　由此可求出英语成绩。解：(92＋92＋4)÷2＋4＝97(分)。　　答：英语得了97分。 练习9　　1.一班有40个学生，二班有42个学生，三班有45个学生。开学后又转学来了11个学生。怎样分才能使每班学生人数相等？　　2.小岗计划4天做15道数学题，结果多做了9道。平均每天做了多少道？　　3.一小组同学体检量身高时发现其中2人的身高是123厘米，另外4人的身高均为132厘米。这个小组同学的平均身高是多少？　　4.小梅做跳绳练习，第一次跳了67下，第二次跳了76下。她要想三次平均成绩达到80下，第三次至少要跳多少下？　　5.一农机站有960千克的柴油。用了6天，还剩240千克。照此用法，剩下的柴油还可用几天？　　6.小浩为培养自己的阅读能力，自己规定这一个月(30天)要读完共288页的彩图世界童话名著《伊索寓言》。头9天平均每天读了8页，第二个9天平均每天读了10页，第三个9天平均每天读了11页。最后三天平均每天需要读几页才能达到自己规定的要求？　　7.五个同学期末考试的数学成绩平均94分，而其中有三个同学的平均成绩为92分，另两个同学的平均成绩是多少？　　8.小亮学游泳，第一次游了25米，第二次游的距离比两次游的平均距离多8米。小亮第二次游了多少米？　　9.篮球队中四名队员的平均身高是182厘米，另一名队员的身高比这五队员的平均身高矮8厘米，这名队员的身高是多少？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

25第10讲植树问题　　绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。　　先介绍四类最简单、最基本的植树问题。　　为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。　　显然，只有下面四种情形：　　(1)非封闭线的两端都有“点”时，　　“点数”＝“段数”＋1。　　(2)非封闭线只有一端有“点”时，　　“点数”=“段数”。　　(3)非封闭线的两端都没有“点”时，　　“点数”＝“段数”-1。　　(4)封闭线上，“点数”=“段数”。　　最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。　　例如，一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？这是第(1)种情形，所以要栽树420÷3＋1＝141(棵)。　　又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40÷2＝20(棵)。　　再如，两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树30÷2-1＝14(棵)。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

26　　再例如，一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第(4)种情形，共能放花60÷3＝20(盆)。　　许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。例1在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米？解：这是第(1)种情形，所以，“段数”＝10－1＝9。这段路长为50×(10-1)＝450(米)。　　答：这段路长450米。例2小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？　　分析：因为1层不用走楼梯，走到5层走了4段楼梯，由此可求出走每段楼梯用100÷(5－1)＝25(秒)。走到11层要走10段楼梯，还要走6段楼梯，所以还需　　25×6＝150(秒)。解：［100÷(5-1)］×(11-5)＝150(秒)。　　答：还需150秒。例3一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？解：车队间隔共有　　30-1＝29(个)，　　每个间隔5米，所以，间隔的总长为　　(30-1)×5＝145(米)，　　而车身的总长为30×4＝120(米)，故这列车队的总长为　　(30-1)×5+30×4＝265(米)。　　由于车队要行265＋535＝800(米)，且每秒行2米，所以，车队通过检阅场地需要　　(265＋535)÷2＝400(秒)＝6分40秒。　　答：这列车队共长265米，通过检阅场地需要6分40秒。例4下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？解：如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数(每个长6毫米)。根据植树问题的第(3)种情形知，五个连在一起的“环扣”数为5-1＝4(个)，所以重叠部分的长为ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

27　　6×(5-1)＝24(毫米)，　　又4厘米=40毫米，所以五个铁环连在一起长　　40×5-6×(5－1)＝176(毫米)。　　同理，十个铁环连在一起的长度为　　40×10-6×(10-1)=346(毫米)。　　答：五个铁环连在一起的长度为176毫米。十个铁环连在一起的长度为346毫米。例5父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶，儿子每步上2个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？(重复踏的台阶只算一个)。解：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，儿子踏过的台阶数为　　300÷2＝150(个)，　　父亲踏过的台阶数为300÷3＝100(个)。　　由于2×3=6，所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶，共重复踏了300÷6＝50(个)。所以父子俩共踏了台阶　　150＋100-50＝200(个)。　　答：父子俩共踏了200个台阶。   练习10　　1.学校有一条长60米的走道，计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵。　　(1)如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗？　　(2)如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？　　(3)如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？　　2.一个长100米，宽20米的长方形游泳池，在离池边3米的外围圈(仍为长方形)上每隔2米种一棵树。共种了多少棵树？　　3.一根90厘米长的钢条，要锯成9厘米长的小段，一共要锯几次？　　4.测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆，然后每隔40米立一根标杆。当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米？　　5.学校举行运动会。参加入场式的仪仗队共180人，每6人一行，前后两行间隔120厘米。这个仪仗队共排了多长？　　6.在一条长1200米的河堤边等距离植树(两端都要植树)。已挖好每隔6米植一棵树的坑，后要改成每隔4米植一棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

28　　7.一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒。已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？ ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

29第11讲巧数图形　　数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于图形千变万化，错综复杂，所以要想准确地数出其中包含的某种图形的个数，还真需要动点脑筋。要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。例1数出下图中共有多少条线段。分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条。所以共有3＋2＋1＝6(条)。　　我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。　　所以，共有3＋2＋1＝6(条)。　　由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。例2下列各图形中，三角形的个数各是多少？　　分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知，ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

30　　图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。　　图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)。　　图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。　　图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。　　图(5)中有三角形　　1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。例3下列图形中各有多少个三角形？　　分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。　　以AB为底边的三角形ABC中，有三角形　　1＋2＋3＝6(个)。　　以ED为底边的三角形CDE中，有三角形　　1＋2＋3＝6(个)。　　所以共有三角形6＋6=12(个)。　　这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。　　由1个小块组成的三角形有3个；　　由2个小块组成的三角形有5个；　　由3个小块组成的三角形有1个；　　由4个小块组成的三角形有2个；　　由6个小块组成的三角形有1个。　　所以，共有三角形　　3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。(2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算：　　由1个小块组成的三角形有4个；　　由2个小块组成的三角形有6个；　　由3个小块组成的三角形有2个；　　由4个小块组成的三角形有2个；ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

31　　由6个小块组成的三角形有1个。　　所以，共有三角形　　4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。例4右图中有多少个三角形？解：假设每一个最小三角　　形的边长为1。按边的长度来分　　类计算三角形的个数。　　边长为1的三角形，从上到下一层一层地数，有　　1＋3＋5＋7=16(个)；　　边长为2的三角形(注意，有一个尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(个)；　　边长为3的三角形有1＋2＝3(个)；　　边长为4的三角形有1个。　　所以，共有三角形　　16＋7＋3＋1＝27(个)。例5数出下页左上图中锐角的个数。分析与解：在图中加一条虚线，如下页右上图。容　　易发现，所要数的每个角都对应一个三角形(这个角与它所截的虚线段构成的三角形)，这就回到例2，从而回到例1的问题，即所求锐角的个数，就等于从O点引出的6条射线将虚线截得的线段的条数。虚线上线段的条数有　　1+2+3+4+5=15(条)。　　所以图中共有15个锐角。例6在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

32解：按包含的小块分类计数。　　包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；　　包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；　　包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；　　包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；　　包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；　　包含15小块的有2个。　　所以共有　　1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(个)。 \ 练习11　　1.下列图形中各有多少条线段？　　　　2.下列图形中各有多少个三角形？　　　　3.下列图形中，各有多少个小于180°的角？　　　　4.下列图形中各有多少个三角形？　　ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

33　　5.下列图形中各有多少个长方形？　　　　6.下列图形中，包含“*”号的三角形或长方形各有多少？　　　　7.下列图形中，不含“*”号的三角形或长方形各有几个？　　ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

34第12讲巧求周长　　我们知道：　　这两个计算公式看起来十分简单，但用途却十分广泛。用它们可以解决许多直角多边形(所有的角都是直角的多边形)的周长问题。这是因为直角多边形总可以分割成若干个正方形或长方形。　　例如，下面的图形都可以分割成若干个正方形或长方形，当然分割的方法不是唯一的。　　由此，可以演变出许多只涉及正方形、长方形周长计算公式的题目。例1一个苗圃园(如左下图)，周边和中间有一些路供人行走(图中线段表示“路”)，几个小朋友在里面观赏时发现：从A处出发，在速度一样的情况下，只要是按“向右”、“向上”方向走，几个人分头走不同的路线，总会同时达到B处。你知道其中的道理吗？分析与解：如右上图所示，将各个交点标上字母。由A处到B处，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六条路线：(1)A→C→D→E→B；(2)A→C→O→E→B；(3)A→C→O→F→B；(4)A→H→G→F→B；(5)A→H→O→E→B；(6)A→H→O→F→B。　　因为A→C与H→O，G→F的路程一样长，所以可以把它们都换成A→C；同理，将O→E，F→B都换成C→D；将A→H，C→O都换成D→E；将H→G，O→F都换成E→B。这样换过之后，就得到六条路线的长度都与第(1)条路线相同，而第(1)条路线的长“AD+DB”就是长方形的“长+宽”，也就是说，每条路线的长度都是“长+宽”。路程、速度都相同，当然到达B处的时间就相同了。例2计算下列图形的周长(单位：厘米)。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

35解：(1)将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见左下图)，这样正好移补成一个正方形，所以它的周长为25×4=100(厘米)。(2)与(1)类似，可以移补成一个长方形，周长为　　(10＋15)×2=50(厘米)。例3求下面两个图形的周长(单位：厘米)。　解：(1)与例2类似，可以移补成一个长(15＋10＋15)厘米、宽(12＋20)厘米的长方形，所以周长为　　(15＋10＋15)×2＋(12＋20)×2＝144(厘米)。(2)设想先把长20厘米的线段向上平移到两条长15厘米的线段中间，构成一个长60厘米，宽(15＋20＋15)厘米的长方形，此时，还有两条长35厘米的竖线段。所以周长为　　60×2＋(15＋20＋15)×2＋35×2＝290(厘米)。例4在一张纸上画出由四个边长为3厘米的正方形拼凑或组合成的图形(重叠的线段只算画一次)。显然，这个图形有多种多样的画法，下列各图是其中的一部分画法。在所有的这些画法中，(1)哪种画法画出的线段总长最长？有多长？(2)哪种画法画出的线段总长最短？有多长？分析与解：画的线段重叠部分越少，画的线段就越长。反之，重叠部分越多，画的线段就越短。因此，类似图1那样画的线条最长，共画了　　3×4×4=48(厘米)。　　右图画的线条最短，共画了　　(3＋3)×6=36(厘米)。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

36　例5下图是一个方形螺线。已知两相邻平行线之间的距离均为1厘米，求螺线的总长度。分析与解：如左下图所示，按箭头方向转动虚线部分，于是得到了三个边长分别为3，5，7厘米的正方形和中间一个三边图形(见右下图)。所以螺线总长度为　　(3＋5＋7)×4＋1×3=63(厘米)。练习12　　1.试求左下图的周长(单位：厘米)。　　　2.上页右下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形。试求出其周长。　　3.右图是某小学教学楼的平面示意图，设计者在图上只标明了三条线段的长度(单位：米)。请你算出它的周长。　　4.下图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形。求这个图形的周长。　　5.下面两图中的小方格的大小相同。图(1)的周长为48厘米，图(2)的周长等于多少？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

37　　6.如右图所示，一个正方形被分成了三个相同的长方形。如果其中一个长方形的周长是16米，那么这个正方形的周长是多少米？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

38第13讲火柴棍游戏(一)　　火柴除了可作火种外，人们常用它来摆图形、算式，做出许多有趣的游戏。它不受场地和时间的限制，只要有几根火柴(或几根长短一样的细小木棍)就可以进行。火柴游戏寓知识、技巧于游戏之中，启迪你的智慧，开阔你的思路，丰富你的课余生活。　　火柴游戏大体分为两种：一种是摆图形和变换图形；一种是变换算式。　　这一讲我们先介绍变换图形的游戏。1.摆图形游戏　　游戏1用8根火柴棍可以摆成一个正方形。现添两根，即用10根火柴能摆出与这个正方形同样大小的图形吗？分析与解：8根火柴摆一个正方形，每边必是两根火柴。它可以分成四个小正方形(如右图)。因此，只要用10根火柴摆出有四个同样大小的小正方形的图形即可。下面的四个图形都符合题意。　　　　游戏2用8根火柴棍摆出八个大小一样的三角形和两个一样大小的正方形。分析与解：4根火柴可摆出一个正方形，另4根火柴又可摆出一个同样大小的正方形。把这两个正方形如右图所示交叉放在一起，就形成八个相同的三角形。　　2.移动火柴，变换图形游戏　　游戏3右图是用10根火柴棍摆成的一座房子。请移动2根火柴，使房子改变方向。解：如左下图所示，除虚线表示的2根火柴外，其余火柴是左、右对称的，所以改变房子的方向与这些火柴无关，应移动虚线表示的2根火柴(见右下图)。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

39　　　游戏4在左下图中移动4根火柴棍，使图形成为只有三个正方形的图形。解：因为只能移动4根火柴，所以图中较长的边(3根或4根火柴的边)都不能动。把图中最里面的4根火柴移补到右上图的相关位置上即可。　　游戏5在左下图中移动4根火柴棍，使它变成3个三角形，并且这3个三角形的面积之和与原来的六边形面积相同。解：原图中有6个三角形，变化后剩下3个三角形，这3个三角形与原来的6个三角形的面积相同，必然有一个三角形的面积要增大。如右上图所示，移动虚线表示的4根火柴。图中下面的大三角形面积等于小三角形面积的4倍。　　3.去掉火柴，变换图形游戏　　游戏6在左下图中去掉尽量少的火柴棍，使得图中不存在任何正方形。解：拿掉的火柴应能尽量多的“破坏”正方形。如右上图，拿掉虚线处的4根火柴即可。拿法不唯一。　　游戏7在左下图中，去掉4根火柴棍，使它变成两个完全相同的图形组合。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

40分析与解：左上图的面积等于七个边长为1根火柴棍的小正方形的面积之和。要达到规定要求，必须去掉一个小正方形。剩下的部分划分成两个面积等于三个小正方形面积的图形。去掉右上图中虚线所示的火柴棍即可。  练习13　　1.用9根火柴棍摆出一个图形，使它含有五个等边三角形。　　2.用9根火柴棍摆出一个图形，使它含有三个正方形和七个长方形(不含正方形)。　　3.在左下图中移动3根火柴棍，使“井”字形变成“品”字形图形。　　4.右上图是用24根火柴棍摆出的两个正方形。　　(1)请你移动4根，把它变成三个正方形；　　(2)再移动8根，把(1)中所得图形变成九个完全相同的正方形；　　(3)在(2)中所得图形上拿走8根火柴，使它变成五个完全相同的正方形。　　5.用13根火柴棍摆成含有6个、7个和8个等边三角形的图形。各给出一种摆法。　　6.右图中共有13个三角形，从中拿掉尽量少的火柴棍，使得图中没有三角形。　ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

41第14讲火柴棍游戏(二)　　火柴棍游戏的另一种形式是摆算式。　　用火柴棍可以摆出下列数字和符号：　　这些数字和符号，在去掉或添加或移动火柴棍后有些可以相互变化。例如：　　添加1根火柴，可以得到　　去掉1根火柴，可以得到　　移动1根火柴，可以得到　　　　其中“→”表示“可变为”。　　做火柴棍算式游戏就是利用这些变化，改变算式，使之符合题目要求。　　下面举的几个例子，只要仔细观察答式，就可以明白是如何按规定变化的，因此就不再进行过细说明了。　　游戏1下面火柴棍摆的算式都是错的。请在各式中去掉或添加1根火柴棍，使各式成立：　　解：(1)去掉1根，可变为(2)添加1根，可变为(3)去掉1根，可变为ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

42　　游戏2在下列各式中只移动1根火柴棍，使错误的式子变成正确的算式：　　解：(1)把221中的1移到等号右边使1变成7。(2)把17前面的“+”变成“-”，这1根移到等号右边使71变成21。(3)移动7中1根到4前面去。　　游戏3下面的两个算式都是错误的，各移动2根火柴，使它们都变成正确的算式：　　解：(1)右边移2根到左边，变为正确算式。(2)左边的2根火柴移动后，变为正确算式。游戏4每式移动3根火柴棍，使各式都变为正确的算式：　　　　　　为了锻练同学们变换算式的灵活性，我们再做一个游戏。　　游戏5下面是一个不正确的不等式，请移动其中1根火柴，使不等式成立。要求找到尽可能多的不同的移动方法。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

43分析与解：因为右边的21无法通过移动一根火柴变小，所以只考虑左边算式，或使被减数变大，或使减数变小，或改变“-”、“＞”等符号。　　将“-”号变为“+”号，有　　改变“＞”号，有　　改变被减数与减数，有　  练习14　　1.在下面各式中去掉或添加1根火柴棍，使各式变成正确的算式：　　2.在下面各式中，只移动1根火柴棍，使各式变为正确的算式：　　3.移动2根火柴棍，使下面的不等式反向：　　4.在下列各式中移动2根火柴，使它们成立：　　　5.移动3根火柴棍，使下式成立：ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

44　　6.在下面的等式中，移动3根火柴棍，使其成为一个新的等式：　　7.下面是一个不正确的不等式，请移动其中1根火柴，使不等式成立。请找出尽量多的不同移法。　ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

45第15讲趣题巧解　　为了考考同学们的智力和灵气，先提几个问题：　　一张长方形的纸，用剪刀剪掉一个角，还剩几个角？　　把一根毛线对折两次后剪一刀，毛线被剪成了几段？　　一树枝上有10只鸟，用汽枪打中了一只，树枝上还剩几只鸟？　　这类智力问题很有趣，但回答时要小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。要想正确地解答这类题目，一是要全面考虑各种情况，二是要充分运用学过的数学知识，再就是还需要些思考问题的灵气和非常规的思考方法。例1一张长方形纸片有四个角，用剪刀沿直线剪掉一个角后，还剩几个角？　　分析：由于已知“剪掉一个角”，但没有限制如何剪，所以必须对这个已知条件中的“剪法”有一个全面的考虑。否则，不加思索地顺口答出“还剩3个角”，答案就不全面了。当我们仔细考虑“剪法”的各种可能性后，再根据角的定义，就会得到全面而正确的答案。解：由于剪掉长方形纸片的一个角有下页图所示的三种不同剪法(图中阴影部分为剪掉的角)，所以，可能还有5个角、4个角或3个角。　　答：还剩5个角、4个角或3个角。例237个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船(无船工)。他们要全部渡过河去，至少要使用这只小船渡河多少次？　　分析：如果由37÷5=7……2，得出7+1=8次，那么就错了。因为忽视了至少要有1个人将小船划回来这个特定的要求。实际情况是：小船前面的每一个来回至多只能渡4个人过河去，只有最后一次小船不用返回才能渡5个人过河。解：因为除最后一次可以渡5个人外，前面若干个来回每个来回只能渡过4个人，每个来回是2次渡河，所以至少渡河　　[(37-5)÷4]×2+1=17(次)。　　答：至少要渡河17次。例3(1)右图是10枚硬币，移动其中1枚硬币，使每一行上都有6枚硬币。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

46(2)用12根火柴拼出6个边长为1根火柴的正方形。分析与解：(1)10枚硬币摆两行，一般来说每行有10÷2=5(枚)。图中的两行却是一行5枚一行6枚，原因是中间有1枚在两行的交叉点上，所以出现了5+6＞10。由于题中并没有规定每个位置上只准放一枚，所以，只要使其中1枚硬币在两直行的交叉点上再“重复”一下，即在两行的交叉点上重叠地放2枚硬币(见右上图)，就可达到目的。(2)一个正方形需要4根火柴才能拼出，12根火柴只能拼出3个正方形，即使如左下图所示，也只能拼出4个正方形。如果我们放弃“在平面上拼”这种平常的思路，而改为在“立体空间中去拼”的新思路，那么就可能“柳暗花明”。　　当思路转向立体空间后，自然会联想到正方体图形。因为它有六个正方形表面，而且正方体的棱恰好是12条，所以完全符合题意。　　拼法如右上图所示。例3的解法说明，“换一个角度”或“换一个方向”去思考问题，往往能收到“奇效”！本题(2)如果把思路始终局限在平面上那么就绝无出路。事实上，题目中并没有这样的限制，而是习惯的思维方式把我们限制了。一旦转到立体空间去思考，问题就迎刃而解了。例4一群动物在一起玩叠罗汉游戏。每只动物的重量都是整千克数，其中，最轻的重1千克，最重的重60千克。叠罗汉规定每只动物上面的总重量不能超过自己的重量。在重1～60千克的动物都有的情况下，它们最多能叠几层？(叠一个动物算一层)分析与解：由于要求叠的层数尽量多，所以应该想到：①最上一层应是最轻的动物；②每只动物上面的总重量尽量等于自己的重量(也满足“不超过”自己的重量要求)。按这两条原则叠罗汉，能很容易找出各层的动物重量，从上到下，它们依次为：ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

47　　第1层　第2层　第3层　第4层　第5层　第6层　第7层　第8层　　　1　　　2　　　3　　　6　　　12　　24　　48　　　96　　因为96＞60，所以这群动物最多只能叠七层罗汉。(叠法不唯一)　　如果只有重1，3，5，7，9，11，21千克的七个动物，按例4中的要求叠罗汉，那么最多能叠几层？它是由哪些重量的动物叠出来的？(答案：5层；由重1，3，5，9，21千克的动物叠出)例5(1)小丽家里的闹钟每天早晨6点半准时响铃，提醒小丽起床，准备上学。有一次，小丽第二天要6点钟起床到学校去大扫除，她在头天晚上9点时把闹钟钟面时间调到8点半还是调到9点半，才能使闹钟第二天早晨6点钟响铃？(2)小明和小强约定10点钟在学校门口碰面，小明的表慢5分钟，而他却以为慢10分钟；小强的表慢10分钟，而他却以为快5分钟。他俩会面时，谁迟到了？先到者等了多少时间才见到迟到者？分析与解：解决这两个问题的关键是弄清“正确时间”和“钟面时间”的含意。(1)要使闹铃6点钟响，即比平常提前半小时响，此时的钟面时间是6点半，它比正确时间多半小时。所以，在头天晚上9点调时针时，必须使钟面时间比正确时间多半小时，即应调到9点半。(2)以正确时间为准。小明以为他的表慢10分，所以，他比钟面时间提早10分到达，实际上他的钟面时间只比正确时间慢5分，所以小明提前了10-5=5(分)；小强以为他的表快5分，所以，他比钟面时间晚到5分，实际上他的钟面时间比正确时间慢10分，小强迟到了10+5=15(分)。会面时，小强迟到了，小明等了小强　　5+15=20(分)。例6(1)三个小朋友三分钟削三支铅笔，照此效率，六个小朋友几分钟削六支铅笔？(2)三只猫三天吃三只老鼠，照此效率，六只猫六天吃几只老鼠？分析与解：这两个问题用来训练对倍数关系的准确理解。(1)中小朋友个数变成2倍，削的铅笔也变成2倍，所以，完成的时间应不变，即3分钟。　　如果具体分析，那么由已知条件推知，一个小朋友削一支铅笔需3分钟，所以，六个小朋友削六支铅笔还是需3分钟。(2)中猫的只数变成2倍，天数也变成2倍，所以，吃的老鼠只数就变成了2×2=4(倍)，即吃了　　3×4=12(只)。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

48　　具体分析，由已知条件推知，一只猫三天吃一只老鼠，所以，当猫变成6倍(六只)，而天数不变时，就有六只猫三天吃1×6=6(只)老鼠。进而，当猫不变(六只)，而天数变为2倍(六天)时，就有六只猫六天吃老鼠　　6×2=12(只)。  练习15　　1.画三条线段，能构成几个角？　　2.用6根长短、粗细一样的火柴棍拼出四个等边三角形(即三边相等的三角形)，如何拼？　　3.一只挂钟，1点整敲1下，2点整敲2下……12点整敲12下，每半点整敲1下。一昼夜(24时)一共要敲多少下？　　4.打靶时，小林和小峰各打了三枪，环数为1，2，4，5，7，9环。已知小林的总环数比小峰的总环数多6环。哪几环是小峰打的？　　5.五个小朋友围坐在一个大圆桌边，按顺时针方向依次编为1，2，3，4，5号。老师给1，2，3，4，5号小朋友分别发1，2，3，4，5个苹果。从5号小朋友开始，依次按顺时针方向看，若邻坐的苹果比自己少，则送给对方一个；若邻坐的苹果不比自己少就不送。照此做下去，到第三圈为止，他们每人手中各有多少个苹果？　　6.球场休息时，保管员慌忙中把甲、乙、丙三个运动员先前交给他的水瓶都递送错了，结果甲喝的是丙的。乙、丙各喝的是谁的？　　7.有一个台称，只能称40千克以上的重量，甲、乙、丙三个小朋友的体重都在20～39千克之间，他们都想知道自己的体重。用这台称怎样才能知道他们各自的体重？　　8.(1)三个小朋友三分钟削三支铅笔，九个小朋友六分钟削几支铅笔？(2)三只猫三天吃三只老鼠，六只猫几天吃18只老鼠？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

49第16讲数阵图(一)　　在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。　　那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：　　左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。　　上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。　　同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以　　(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，　　重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。　　重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

50分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所　　以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于　　[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。　　因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。在剩下的四个数1，2，3，4中，只有1+4=2+3=5。故有右上图的填法。例3把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道，　　(1+2+3+4+5)+重叠数　　=每条直线上三数之和×2，　　所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。　　因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。　　若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为　　(15+1)÷2=8。　　填法见左下图；　　若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为　　(15+3)÷2=9。　　填法见下中图；　　若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为　　(15+5)÷2=10。　　填法见右下图。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

51　　由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。为了进一步学会掌握这种解题方法，我们再看两例。例4将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。　分析与解：与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到　　(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。　　由此得出重叠数为　　[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。　　剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。　　如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几？怎样填？例5将10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。解：与例2类似，中间○内的15是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于　　[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。　　剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右上图的填法。例1～5都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。例4的图中有三条边，每边有三个数，称为辐射型3—3图；例5有五条边每边有三个数，称为辐射型5—3图。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

52　　一般地，有m条边，每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m－n图。　　辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。对于辐射型数阵图，有　　已知各数之和+重叠数×重叠次数　　=直线上各数之和×直线条数。　　由此得到：(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于　　(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。　　如例1、例4。(2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。如例2、例5。(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例3。 练习16　　1.将1～7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。　　如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？　　2.将1～9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。　　如果中心数是5，那么又该如何填？　　3.将1～9这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法)ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

53　　4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。　　5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。　　6.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。　ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

54第17讲数阵图(二)　　上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。例1将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。分析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为　　21×2-(1+2+…+8)=6。　　在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。　　如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有　　2+6+7=15和3+4+8=15，　　故有左下图的填法。　　　如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。例2将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。分析与解：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于　　11×3-(1+2+…+6)=12。　　1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。　　如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。容易发现，所填数不是1～6，不合题意。　　同理，三个重叠数也不能是3，4，5。　　经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。例3将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

55分析与解：与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于　　[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3　　=(21+重叠数之和)÷3　　=7+重叠数之和÷3。　　因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是1～6中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。　　与例2的方法类似，可得下图的四种填法：　　每边三数之和=9每边三数之和=10每边三数之和=11每边三数之和=12例4将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。分析与解：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。所以四个重叠数之和等于　　18×4-(2+3+…+9)=28。　　而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：　　4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。　　又由于18-9-8=1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：　　“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。　　以上例题都是封闭型数阵图。　　一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。　　与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。　　对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以　　已知各数之和+重叠数之和　　=每边各数之和×边数。　　由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

56　　前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。例5把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。分析与解：这道题的“重叠数”很多。有重叠2次的(中心数，记为a)；有重叠1次的(三个数，分别记为b，c，d)。根据题意应有　　(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3，　　即a+a+b+c+d=11。　　因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。练习17　　1.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。　　2.把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。　　3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。　　4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。　　5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

57　　6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。　ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

58 第18讲能被2，5整除的数的特征　　同学们都知道，自然数和0统称为(非负)整数。同学们还知道，两个整数相加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，当被减数不小于减数时，差还是整数。两个整数相除时，情况就不那么简单了。如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整除。例如，　　84能被2，3，4整除，因为84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，28，21都是整数。　　而84不能被5整除，因为84÷5=16……4，有余数4。也不能被13整除，因为84÷13=6……6，有余数6。　　因为0除以任何自然数，商都是0，所以0能被任何自然数整除。　　这一讲的内容是能被2和5整除的数的特征，也就是讨论什么样的数能被2或5整除。　　1.能被2整除的数的特征　　因为任何整数乘以2，所得乘数的个位数只有0，2，4，6，8五种情况，所以，能被2整除的数的个位数一定是0，2，4，6或8。也就是说，凡是个位数是0，2，4，6，8的整数一定能被2整除，凡是个位数是1，3，5，7，9的整数一定不能被2整除。　　例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除。　　能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。　　0，2，4，6，8，10，12，14，…就是全体偶数。　　1，3，5，7，9，11，13，15，…就是全体奇数。　　偶数和奇数有如下运算性质：　　偶数±偶数=偶数，　　奇数±奇数=偶数，　　偶数±奇数=奇数，　　奇数±偶数=奇数，　　偶数×偶数=偶数，　　偶数×奇数=偶数，　　奇数×奇数=奇数。例1在1～199中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？分析与解：由于1，2，3，4，…，197，198，199是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对：　　(1，2)，(3，4)，…，(197，198)，　　还剩一个199。共有198÷2=99(对)，还剩一个奇数199。所以ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

59　　奇数的个数=198÷2+1=100(个)，　　偶数的个数=198÷2=99(个)。　　因为每对中的偶数比奇数大1，99对共大99，而199-99=100，所以奇数之和比偶数之和大，大100。　　如果按从大到小两两配对：　　(199，198)，(197，196)，…，(3，2)，那么怎样解呢？例2(1)不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？(2)数(42□+30-147)能被2整除，那么，□里可填什么数？(3)下面的连乘积是偶数还是奇数？　　1×3×5×7×9×11×13×14×15。解：根据奇偶数的运算性质：(1)因为524，42是偶数，所以(524+42)是偶数。又因为429是奇数，所以(524+42-429)是奇数。(2)数(42□+30-147)能被2整除，则它一定是偶数。因为147是奇数，所以数(42□+30)必是奇数。又因为其中的30是偶数，所以，数42□必为奇数。于是，□里只能填奇数1，3，5，7，9。(3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇数，由1×3为奇数，推知1×3×5为奇数……推知　　1×3×5×7×9×11×13×15　　为奇数。因为14为偶数，所以　　(1×3×5×7×9×11×13×15)×14为偶数，即　　1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数。　　由例2得出：(1)在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数的个数是奇数，则结果是奇数。(2)在连乘运算中，只要有一个因数是偶数，则整个乘积一定是偶数。例3在黑板上先写出三个自然数3，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和。照这样进行100次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？解：根据奇偶数的运算性质知：　　第一次擦后，改写得到的三个数是6，3，3，是“二奇一偶”；　　第二次擦后，改写得到的三个数是6，3，3或6，9，3或6，3，9，都是“二奇一偶”。　　以后若擦去的是偶数，则改写得到的数为二奇数之和，是偶数；若擦去的是奇数，则改写得到的数为一奇一偶之和，是奇数。总之，黑板上仍保持“二奇一偶”。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

60　　所以，无论进行多少次擦去与改写，黑板上的三个数始终为“二奇一偶”。它们的乘积　　奇数×奇数×偶数=偶数。　　故进行100次后，所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数，它们的乘积一定是偶数。　　2.能被5整除的数的特征　　由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5=40，…可以推想任何一个偶数乘以5，所得乘积的个位数都是0。　　由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5=45，…可以推想，任何一个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5。　　因此，能被5整除的数的个位数一定是0或5。也就是说，凡是个位数是0或5的整数一定能被5整除；凡是个位数不是0或5的整数一定不能被5整除。例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264，3588等都不能被5整除。例4由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？解：因为个位数为0或5的数才能被5整除，所以由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，只有350，530，305三个数能被5整除。例5下面的连乘积中，末尾有多少个0？　　1×2×3×…×29×30。解：因为2×5=10，所以在连乘积中，有一个因子2和一个因子5，末尾就有一个0。连乘积中末尾的0的个数，等于1～30中因子2的个数与因子5的个数中较少的一个。而在连乘积中，因子2的个数比因子5的个数多(如4含两个因子2，8含三个因子2)，所以，连乘积末尾0的个数与连乘积中因子5的个数相同。连乘积中含因子5的数有5，10，15，20，25，30，这些数中共含有七个因子5(其中25含有两个因子5)。所以，1×2×3×…×29×30的积中，末尾有七个0。  练习18　　1.在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？　　2.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：　　(1)1＋2＋3＋4＋5；　　(2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；　　(3)1＋2＋3＋…＋9＋10；　　(4)1＋3＋5＋…＋21＋23；　　(5)13-12＋11-10＋…＋3-2＋1。　　3.由4，5，6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

61　　4.两个质数之和是13，这两个质数之积是多少？　　5.下面的连乘积中，末尾有多少个0？　　20×21×22×…×49×50。　　6.用0，1，2，3，4，5这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能被5整除的有几个？能被2整除的有几个？能被10整除的有几个？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

62第19讲能被3整除的数的特征上一讲我们讲了能被2，5整除的数的特征，根据这些特征，很容易就能判别出一个数是否能被2或5整除。同学们自然会问，有没有类似的简便方法，直接判断一个数能否被3整除？我们先具体观察一些能被3整除的整数：　　18，345，4737，25674　　18能被3整除，1+8=9也能被3整除；　　345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除；　　4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除；　　25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。怎么这么巧？我们再试一个：7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了，不用再试了，同学们可能已经在想：“是不是所有能被3整除的数的各位数字的和都能被3整除？”结论是肯定的。它的一般性证明这里无法介绍，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。　　由99和9都能被3整除，推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741能被3整除，推知(7+4+1)能被3整除；反之，由(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。　　因此，判断一个整数能否被3整除的简便方法是：　　如果整数的各位数字之和能被3整除，那么此整数能被3整除。如果整数的各位数字之和不能被3整除，那么此整数不能被3整除。例1判断下列各数是否能被3整除：　　2574，38974，587931。解：因为2+5+7+4=18，18能被3整除，所以2574能被3整除；　　因为3+8+9+7+4=31，31不能被3整除，所以38974不能被3整除；　　因为5+8+7+9+3+1=33，33能被3整除，所以587931能被3整除。　　为了今后使用方便，我们介绍一个表示多位数的方法。当一个多位数中有一个或几个数字用字母来表示时，为防止理解错误，就在这个多位数的上面划一线段来表示这个多位数。例如，表示这个三位数的百、十、个位依次是3，a，5；又如，表示这个四位数的千、百、十、个位依次是a，b，c，d。例2六位数能被3整除，数字a=？解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。即符合题意的a是2，5或8。例3由1，3，5，7这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

63解：在1，3，5，7这四个数中，任取三个，共有4组：　　1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。其中，1+3+5和3+5+7能被3整除，所以，由1，3，5或3，5，7写成的没有重复数字的三位数能被3整除。由1，3，5可写成135，153，315，351，513，531六个三位数；同理，由3，5，7也能写成6个三位数。　　所以，符合题意的三位数有6×2=12(个)。例4被2，3，5除余1且不等于1的最小整数是几？解：除1以外，被2除余1的所有整数是　　3，5，7，9，11，…，27，29，31，33，…　　被3除余1的所有整数是　　4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，…　　被5除余1的所有整数是　　6，11，16，21，26，31，36，…　　上面三列数中，第一个同时出现的数是31，所以31是同时满足被2，3，5除均余1且不等于1的最小数。例4中使用的方法是解这类题型的基本方法，但不够简捷。一个较简捷的方法是：　　因为5大于2和3，所以先从被5除余1的数　　1，6，11，16，21，26，31，36，…　　中找出第一个(1除外)同时满足被2和3除都余1的数31，就为所求。　　到五年级学了更多的知识后，还可直接由2×3×5+1=31得到所求数。例5同时能被2，3，5整除的最小三位数是几？解：能被5整除的三位数是　　100，105，110，115，120，125，…其中，第一个能同时被2，3整除的数是120(它是偶数，且1+2+0=3)，故120为所求。  练习19　　1.直接判断25874和978651能否被3整除。　　3.由2，3，4，5这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？　　4.(1)被2，3除余1且不等于1的最小整数是几？(2)被3，5除余2且不等于2的最小整数是几？　　5.同时能被2，3，5整除的最小自然数是几？　　6.同时能被2，3，5整除的最大三位数是几？　　7.一根铁丝长125厘米，要把它剪成长2厘米、3厘米、5厘米的三种不同规格的小段。最多能剪成多少段？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

64第20讲乘、除法的运算律和性质　　我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。　　1.乘法的运算律　　乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。即　　a×b=b×a。　　其中，a，b为任意数。　　例如，35×120=120×35=4200。　　乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。即　　a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。　　注意：(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。(2)这两个运算律常一起并用。例如，并用的结果有　　a×b×c=b×(a×c)等。例1计算下列各题：(1)17×4×25；(2)125×19×8；(3)125×72；(4)25×125×16。　　分析：由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算。解：(2)125×19×8=(125×8)×19=1000×19=19000；(3)125×72=125×(8×9)=(125×8)×9=1000×9=9000；(4)25×125×16或=25×125×2×8=(25×2)×(125×8)=50×1000=50000，　　25×125×16=25×125×4×4=(25×4)×(125×4)=100×500=50000。　　乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。即　　(a+b)×c=a×c+b×c，　　(a-b)×c=a×c-b×c。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

65例2计算下列各题：(1)125×(40+8)；(2)(100-4)×25；(3)2004×25；(4)125×792。解：(1)125×(40+8)=125×40+125×8=5000+1000=6000；(2)(100-4)×25=100×25-4×25=2500-100=2400；(3)2004×25=(2000+4)×25=2000×25+4×25=50000+100=50100；(4)125×792=125×(800-8)=125×800-125×8=(125×8)×100-1000　　=1000×100-1000=1000×(100-1)=99000。　　2.除法的运算律和性质　　商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即　　a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)　　=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)例3计算：(1)425÷25；(2)3640÷70。解：(1)425÷25=(425×4)÷(25×4)=1700÷100=17；(2)3640÷70=(3640÷10)÷(70÷10)=364÷7=52。(2)两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和(或差)。即　　(a±b)÷c=a÷c±b÷c。　　例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2，　　(9-6)÷3=9÷3-6÷3。　　此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如　　(1000-688-136)÷8=1000÷8-688÷8-136÷8=125-86-17=22。(3)在连除中，可以交换除数的位置，商不变。即　　a÷b÷c=a÷c÷b。　　在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。例如，　　168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……例4计算下列各题：(1)(182+325)÷13；(2)(2046-1059-735)÷3；(3)775÷25；(4)2275÷13÷5。解：(1)(182＋325)÷13=182÷13+325÷13=14+25=39；(2)(2046-1059-735)÷3=2046÷3-1059÷3-735÷3=682-353-245=84；(3)775÷25=(700+75)÷25=700÷25+75÷25=28+3=31；(4)2275÷13÷5=2275÷5÷13=455÷13=35。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

66　　3.乘、除法混合运算的性质(1)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如，　　a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。(2)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：　　括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即　　a×(b×c)=a×b×c，　　a×(b÷c)=a×b÷c。　　括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即　　a÷(b×c)=a÷b÷c，　　a÷(b÷c)=a÷b×c。　　添加括号情形：　　加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即　　a×b×c=a×(b×c)，　　a×b÷c=a×(b÷c)，　　a÷b÷c=a÷(b×c)，　　a÷b×c=a÷(b÷c)。(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即　　(a×b)÷(c×d)　　=(a÷c)×(b÷d)　　=(a÷d)×(b÷c)。　　上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。例5计算下列各题：(1)136×5÷8=136÷8×5=17×5=85；(2)4032÷(8×9)=4032÷8÷9=504÷9=56；(3)125×(16÷10)=125×16÷10=256×4(4)2560÷(10÷4)=2560÷10×4＝1024；(5)2460÷5÷2=2460÷(5×2)=2460÷10=246；(6)527×15÷5=527×(15÷5)=527×3=1581；(7)(54×24)÷(9×4)=(54÷9)×(24÷4)=6×6=36。 ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

67 练习20　　用简便方法计算下列各题。　　1.(1)12×4×25；(2)125×13×8；(3)125×56；(4)25×32×125。　　2.(1)125×(80+4)；(2)(100-8)×25；(3)180×125；(4)125×88。　　3.(1)1375÷25；(2)12880÷230。　　4.(1)(128+1088)÷8；　　(2)(1040-324-528)÷4；　　(3)1125÷125；　　(4)4505÷17÷5。　　5.(1)384×12÷8；　　(2)2352÷(7×8)；　　(3)1200×(4÷12)；　　(4)1250÷(10÷8)；　　(5)2250÷75÷3；　　(6)636×35÷7；　　(7)(126×56)÷(7×18)。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

68第21讲乘法中的巧算　　上一讲我们介绍了乘、除法的一些运算律和性质，它是乘、除法中巧算的理论根据，也给出了一些巧算的方法。本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法。　　1.乘11，101，1001的速算法　　一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得　　a×11=a×(10＋1)=10a＋a，　　a×101=a×(101＋1)=100a＋a，　　a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a。　　例如，38×101=38×100＋38=3838。　　2.乘9，99，999的速算法　　一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得　　a×9=a×(10-1)=10a-a，　　a×99=a×(100-1)=100a-a，　　a×999=a×(1000-1)=1000a-a。　　例如，18×99=18×100-18=1782。　　上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。例1计算：(1)356×1001＝356×(1000＋1)＝356×1000＋356＝356000＋356＝356356；(2)38×102＝38×(100＋2)＝38×100＋38×2＝3800＋76＝3876；(3)526×99＝526×(100-1)＝526×100-526＝52600-526＝52074；(4)1234×9998＝1234×(10000-2)＝1234×10000-1234×2＝12340000-2468＝12337532。　　3.乘5，25，125的速算法　　一个数乘以5，25，125时，因为5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到　　例如，76×25＝7600÷4＝1900。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

69　　上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千……的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。例2计算：(1)186×5=186×(5×2)÷2=1860÷2=930；(2)96×125=96×(125×8)÷8=96000÷8=12000。　　有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。例3计算：(1)84×75=(21×4)×(25×3)=(21×3)×(4×25)=63×100=6300；(2)56×625=(7×8)×(125×5)=(7×5)×(8×125)=35×1000=35000；(3)33×125=32×125+1×125=4000+125=4125；(4)39×75=(32+1)×125=(40-1)×75=40×75-1×75=3000-75=2925。　　4.个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法　　个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是25，25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。例如：　　仿此同学们自己算算下面的乘积　　35×35＝______55×55＝______　　65×65＝______85×85＝______　　95×95＝______　　这种方法也适用于个位数是5的两个相同的多位　　数相乘的计算，例如， 练习21　　用速算法计算下列各题：ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

70　　1.(1)68×101；(2)74×201；　　(3)256×1002；(4)154×601。　　2.(1)45×9；　　(2)457×99；　　(3)762×999；(4)34×98。　　3.(1)536×5；　(2)437×5；　　(3)638×15；　(4)739×15。　　4.(1)32×25；　(2)17×25；　　　(3)130×25；　(4)68×75；　　(5)49×75；(6)87×75。　　5.(1)56×125；(2)77×125；　　(3)66×375；(4)256×625；　　(5)555×375；(6)888×875。　　6.(1)295×295；(2)705×705。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

71第22讲横式数字谜(二)　　第2讲我们初步介绍了简单的横式填数问题。这一讲再继续介绍一些此类问题。例1在下列各式的□里填上合适的数字：(1)237÷□□=□；(2)368÷□□=□□；(3)14×□□=3□8。解：(1)将除法变为乘法，可以转化为“在　　237=□□×□　　中填入合适的数字”的问题。因为237＝237×1＝79×3，所以只有一种填法：(2)问题可以转化为“在368＝□□×□□中填入合适的数字”的问题。因为　　368＝368×1＝184×2＝92×4　　＝46×8＝23×16，　　其中只有368＝23×16是两个两位数之积。因而有如下两种填法：(3)由被乘数的个位数是4，积的个位数是8知，乘数的个位数只可能为2或7，再由被乘数的十位数是1，积的百位数是3知，乘数的十位数不能填大于3的数字。所以乘数只可能是12，17，22，27，32或37。经试算，符合题意的填法有两种：例2在下列各式的□里填上合适的数：(1)□÷32＝7……29；(2)480÷156＝□……12；(3)5367÷□＝83……55。　　分析：根据有余数的除法(简称带余除法)知：　　被除数=不完全商×除数＋余数，　　被除数-余数=不完全商×除数。　　上式说明，(被除数-余数)是不完全商或除数的倍数，并且有　　(被除数-余数)÷除数=不完全商，　　(被除数-余数)÷不完全商=除数。　　由此分析，可以得到如下解法。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

72解：(1)由7×32＋29＝253，得到如下填法：　　(2)由(480-12)÷156＝3，得到如下填法：　　(3)由(5367-55)÷83＝64，得到如下填法：　　例3在下列各式的□里填入合适的数字，使等式成立：(1)□5□×23＝5□□2；(2)9□□4÷48=□0□。分析与解：(1)首先，从个位数分析，可知被乘数的个位数只能为4。　　其次，从首位数分析知，被乘数□5□的首位数只能为2。因为，被乘数的首位取1时，×23的积的首位小于5，而取大于2的数时，积的首位数大于5。　　由254×23＝5842知，填法如下：(2)将问题转换成“在9□□4=□0□×48中填数”的问题。　　类似(1)的分析，被乘数□0□的首位只能填2，个位数只能填3或8。由　　203×48＝9744和208×48＝9984　　知，有如下两种填法：例4在下列各题中，每一题的四个□中都填同一个数字，使式子成立：(1)□+□＞□×□；(2)□+□=□×□；(3)□+□＜□×□。解：解这类题全靠对数的深刻认识和对四则运算的熟练掌握。(2)只能填2或0：(3)除0，1，2三数字外，其他数字3，4，…，9都可填。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

73例5在下式的□中填入合适的数字，并要求等式中没有重复的数字：　　756=□×□□□。分析与解：将乘法式子改写成除法式子：　　756÷□=□□□。　　因为被除数与商都是三位数，所以除数不能大于被除数的百位数7。又因为题目要求没有重复数字，所以除数只可能是2，3，4。逐一试除，得到　　756÷2＝378，　　756÷3＝252，　　756÷4＝189。　　只有756÷4＝189没有重复数字，所以只有一种填法：例6将0，1，2，3，4，5，6七个数字分别填入下式的七个□里，使算式成立：　　□□÷□=□×□=□□。分析与解：为了方便，我们将原式分成两个等式，并在□里填上字母，以示区别：　　其中字母A，B，C，D，E，F，G分别代表0～6这七个数字。由①式看出，E不能是0，否则B也是0，不合题意。再由②式看出，F，G既不能是0，也不能是1。F，G只能是2，3，4，5或6，考虑到E≠0，再除去有重复数字的情形，满足②式的数字填法只有3×4＝12。此时，还剩下0，5，6三个数字未填。因为在①式中A，C都不能是0，所以B是0，由60÷5＝12，得到符合题意的唯一填法：练习22　　1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数：　　(1)5×□=2□；　　(2)6×□＝3□。　　2.将3～9中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

74　　(1)□÷□=□÷□；　　(2)□÷□＞□÷□。　　3.在下列各式的□中填入合适的数字：　　(1)448÷□□=□；　　(2)2822÷□□=□□；　　(3)13×□□=4□6。　　4.在下列各式的□中填入合适的数：　　(1)□÷32＝8……31；　　(2)573÷32＝□……29；　　(3)4837÷□＝74……27。　　5.在下列各式的□中填入合适的数字，要求各等式中无重复的数字：　　(1)342÷□□=□；　　(2)□×□□□＝567。　　6.将1～9这九个数字分别填入下式中的九个□里，使连等式成立：　　□÷□=□÷□=□□□÷□□。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

75第23讲竖式数字谜(三)　　在第4讲的基础上，再讲一些乘数、除数是两位数的竖式数字谜问题。例1在下列乘法竖式的□中填入合适的数字：　　分析与解：(1)为方便叙述，将部分□用字母表示如左下式。　　第1步：由A4B×6的个位数为0知，B=0或5；再由A4B×C=□□5，推知B＝5。　　第2步：由A45×6＝1□□0知，A只可能为2或3。但A为3时，345×6＝2070，不可能等于1□□0，不合题意，故A=2。　　第3步：由245×C=□□5知，乘数C是小于5的奇数，即C只可能为1或3。　　当C取1时，245×16＜8□□□，不合题意，所以C不能取1。故C＝3。　　至此，可得填法如上页右下式。　　从上面的详细解法中可看出：除了用已知条件按一定次序(即几步)来求解外，在分析中常应用“分枝”(或“分类”)讨论法，如第2步中A分“两枝”2和3，讨论“3”不合适(即排除了“3”)，从而得到A＝2；第3步中，C分“两枝”1和3，讨论“1”不合适(即排除了“1”)，从而得到C＝3。分枝讨论法、排除法是解较难的数字问题的常用方法之一。　　下面我们再应用这个方法来解第(2)题。(2)为方便叙述，将部分□用字母表示如下式。　　第1步：在AB×9＝6□4中，因为积的个位是4，所以B＝6。　　第2步：在A6×9＝6□4中，因为积的首位是6，所以A＝7。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

76　　第3步：由积的个位数为8知，D＝8。再由AB×C=76×C＝6□8知C＝3或8。当C=3时，　　76×3＜6□8，　　不合题意，所以C＝8。　　至此，A，B，C都确定了，可得上页右式的填法。例2在左下式的□中填入合适的数字。分析与解：将部分□用字母表示如右上式。　　第1步：由积的个位数为0知D＝0，进而得到C＝5。　　第2步：由A76×5＝18□0知，A＝3。　　第3步：在376×B5＝31□□0中，由积的最高两位数是31知，B≥8，即B是8或9。　　由376×85=31960及376×95＝35720知，B＝8。　　至此，我们已经确定了A＝3，B＝8，C＝5。唯一的填法如下式。　　下面两道例题是除数为两位数的除法竖式数字谜。例3在左下式的□中填入合适的数字。解：由□□×2=48知，除数□□=24。又由竖式的结构知，商的个位为0。故有右上式的填法。例4在左下式的□中填入合适的数字。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

77分析与解：将部分□用字母表示如右上式。　　第1步：在A6×B＝□□8中，积的个位是8，所以B只可能是3或8。由□□8＜11□知，□□8是108或118，因为108和118都不是8的倍数，所以B≠8，B＝3。又因为只有108是3的倍数，108÷3＝36，所以A＝3。　　第2步：由A6×C＝36×C=□□知，C只能是1或2。当C=1时，36×31＝1116；当C＝2时，36×32＝1152。　　所以，本题有如下两种填法：练习23　　1.在下列各式的□中填入合适的数字：　　　　2.下列各题中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。求出这些数字代表的数。　　　3.在下列各式的□中填入合适的数字：ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

78　　　　4.在下面的竖式中，被除数、除数、商、余数的和是709。请填上各□中的数字。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

79 第24讲和倍应用题　　小学数学中有各种各样的应用题。根据它们的结构形式和数量关系，形成了一些用特定方法解答的典型应用题。比如，和倍应用题、差倍应用题、和差应用题等等。　　和倍应用题的基本“数学格式”是：　　已知大、小二数的“和”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。　　上面的问题中有“和”，有“倍数”，所以叫做和倍应用题。为了清楚地表示和倍问题中大、小二数的数量关系，画出线段图如下：　　从线段图知，“和”是小数的(倍数+1)倍，所以，　　小数=和÷(倍数+1)。　　上式称为和倍公式。由此得到　　大数=和-小数，　　或大数=小数×倍数。　　例如，大、小二数的和是265，大数是小数的4倍，则　　小数=265÷(4＋1)=53，　　大数=265-53=212或53×4=212。例1甲、乙两仓库共存粮264吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的10倍。甲、乙两仓库各存粮多少吨？　　分析：把甲仓库存粮数看成“大数”，乙仓库存粮数看成“小数”，此例则是典型的和倍应用题。根据和倍公式即可求解。解：乙仓库存粮264÷(10＋1)＝24(吨)，甲仓库存粮　　264-24=240(吨)，　　或　　24×10＝240(吨)。　　答：乙仓库存粮24吨，甲仓库存粮240吨。例2甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发，相向而行，2时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的2倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

80　　分析：已知甲车速度是乙车速度的2倍，所以“1倍”数是乙车的速度。现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可用“和倍公式”了。由题意知两辆车2时共行360千米，故1时共行360÷2＝180(千米)，这就是两辆车的速度和。解：乙车的速度为　　(360÷2)÷(2＋1)=60(千米/时)，　　甲车的速度为　　60×2=20(千米/时)，或180-60=120(千米/时)。　　答：甲车每时行120千米，乙车每时行60千米。　　从上面两道例题看出，用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数(即小数)是谁，“和”是谁。例1、例2的“1倍”数与“和”极为明显，其中例2中虽未直接给出“和”，但也很容易求出。下面我们讲几个“1倍”数不太明显的例子。例3甲队有45人，乙队有75人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的3倍？　　分析：容易求得“二数之和”为45＋75=120(人)。如果从“乙队人数才是甲队人数的3倍”推出“1倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了，从75不是45的3倍也知是错的。这个“1倍”数是谁？根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。倍数关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。由此画出线段图如下：　　从图中看出，把甲队中“？”人调入乙队后，(45＋75)就是甲队剩下人数的3＋1＝4(倍)。从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。由和倍公式可以求解。解：甲队调动后剩下的人数为　　(45＋75)÷(3＋1)＝30(人)，故甲队调入乙队的人数为45-30＝15(人)。　　答：甲队要调15人到乙队。例4妹妹有书24本，哥哥有书53本。要使哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹应给哥哥多少本书？　　仿照例3的分析可得如下解法。解：兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的(6＋1)倍，根据和倍公式，妹妹剩下　　(53＋24)÷(6＋1)＝11(本)。故妹妹给哥哥书24-11＝13(本)。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

81　　答：妹妹给哥哥书13本。例5大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？分析与解：这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。但这里的“和”不是160，而是160－20＋10＝150，“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。线段图如下：　　　根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇(即“1倍”数)　　(160-20＋10)÷(5＋1)＝25(个)，　　故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(个)，大白兔原有蘑菇　　160-15＝145(个)。　　答：原来大白兔采蘑菇145个，小灰兔采15个。练习24　　1.小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？　　2.一肉店卖出猪肉和牛肉共560千克，卖出的猪肉是卖出的牛肉的4倍。猪、牛肉各卖了多少千克？　　3.甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙两桶原有汽油各多少千克？　　4.甲、乙两人共生产零件100个，其中甲有2个零件、乙有5个零件不合格。已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2倍。甲、乙各生产了多少个零件？　　5.团结村原有水田290公顷，旱田170公顷。要把多少公顷旱田改为水田，才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多2倍？　　6.红星小学图书馆内，科技书是故事书的3倍，连环画书又是科技书的2倍。已知这三种书共有1600本，那么每种书各有多少本？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

82第25讲差倍应用题　　与和倍应用题相似的是差倍应用题。它的“基本数学格式”是：　　已知大、小二数之“差”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。　　上面的问题中，有“差”、有“倍数”，所以叫做差倍应用题。差倍问题中大、小二数的数量关系可以用下面的线段图表示：　　从线段图知，“差”是小数(即“1倍”数)的(倍数-1)倍，所以，　　小数=差÷(倍数-1)。　　上式称为差倍公式。由此得到　　大数=小数+差，　　或　　大数=小数×倍数。　　例如，大、小数之差是152，大数是小数的5倍，则　　小数=152÷(5-1)=38，　　大数=38＋152=190或38×5＝190。例1王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？　　分析：师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。小数(即“1倍”数)是徒弟一天生产的零件数，“倍数”为3。由差倍公式可以求解。解：徒弟一天生产零件　　128÷(3-1)=64(个)，　　师傅一天生产零件　　128＋64＝192(个)或64×3＝192(个)。　　答：徒弟、师傅一天分别生产零件64个和192个。例2两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。这两根电线各长多少米？解：“差”＝30，倍数=4，由差倍公式得短的电线长　　30÷(4-1)＝10(米)，　　长的电线长　　10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

83　　答：短的电线长10米，长的电线长40米。　　解差倍应用题的关键是确定“1倍”数是谁，“差”是什么。上两例中，“1倍”数及“差”都极明显地直接给出。下面讲两个稍有变化，不直接给出“差”和“1倍”数的例子。例3甲、乙二工程队，甲队有56人，乙队有34人。两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的3倍。问：调动后两队各还有多少人？　　分析：画线段图如下：　　由上图可知，“1倍”数是乙队调动后剩下的人数。因甲、乙队调走的人数相同(不影响他们二队人数之差)，所以，甲、乙两队人数之差仍是56-34=22(人)。解：由差倍公式得调动后乙队有　　(56-34)÷(3-1)=11(人)。　　调动后甲队有　　11×3=33(人)或11＋(56-34)=33(人)。　　答：调动后甲队有33人，乙队有11人。例4甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。两桶油原来各有多少千克？分析与解：画线段图如下：　　　从上图知，当甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍，所以，“1倍”数是甲桶里剩下的油。“差”是什么呢？从图中可知，“1倍”与“3倍”之间的差26＋14＝40(千克)就是我们要找的“差”。所以，由差倍公式知，　　“1倍”数=(26＋14)÷(3-1)＝20(千克)。　　故甲、乙桶原来各有油　　20＋26＝46(千克)，　　或20×3-14＝46(千克)。　　答：原来各有46千克。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

84例5小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。问：原来两人各有多少本书？分析与解：“小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书是小云的书的3倍。这个“倍数”是变化后的，所以“1倍”数应是小云变化后的书(见下图)。“差”是　　20＋5＋11＝36(本)。　　根据和差公式得：　　小云现有书　　(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)。　　小云原来有书18＋5＝23(本)，　　小雨原来有书23＋20＝43(本)。　　答：原来小云有23本书，小雨有43本书。练习25　　1.大仓库存粮比小仓库存粮多254吨。又知大仓库存粮是小仓库存粮的3倍。大、小仓库各存粮多少吨？　　2.一养鸡场，公鸡比母鸡少369只，母鸡是公鸡的4倍。公鸡、母鸡各多少只？　　3.小林今年9岁，他爸爸今年35岁。小林多少岁时，他爸爸的年龄正好是他的3倍？　　4.一车间男工26人，女工14人。调走男、女工同样多的人后，男工人数是女工人数的3倍。剩下的男、女工各多少人？　　5.甲、乙二数相等。甲数加上50，乙数减去34后，甲数就是乙数的4倍。原来甲、乙两数等于几？　　6.两根同样长的电线，第一根用去37米，第二根用去16米后，第二根的长度是第一根长度的4倍。两根电线原来有多长？　　7.大、小二数之差是504。大数个位数是0，去掉这个0，正好是小数。大、小数各是多少？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

85第26讲和差应用题　　和差应用题的基本“数学格式”是：　　已知大、小二数的和与差，求此二数。　　大、小二数的数量关系可表示为下面的线段图：　　从线段图知：(1)如果在小数中补进去一个已知的“差”，那么补后的小数与大数的和就是大数的2倍，即已知的和与已知的差之和是大数的2倍。所以，　　大数=(和+差)÷2，小数=和-大数。(2)如果在大数中去掉一个已知的差，那么去掉了“差”的大数与小数之和就是小数的2倍，即已知的和与已知的差之差是小数的2倍。所以，　　小数=(和-差)÷2，大数=和-小数。　　由此得到和差公式：　　大数=(和+差)÷2，　　小数=(和-差)÷2。　　例如，已知二数之和为324，二数之差为152，求此二数。由和差公式知，　　大数=(324＋152)÷2＝238，　　小数=(324-152)÷2＝86。例1小军和他爸爸今年的年龄之和是42岁，年龄之差是26岁。小军与他爸爸今年各多少岁？　　分析：与和差问题的基本数学格式对比知，如果把爸爸的岁数看成“大数”，小军的岁数看成“小数”，那么它们的和为42，差为26。由和差公式可以求解。解：爸爸的岁数=(42＋26)÷2＝34(岁)，　　小军的岁数=(42-26)÷2＝8(岁)。　　答：今年小军8岁，爸爸34岁。　　本题中，求出爸爸的岁数后，小军的岁数也可以由(和-大数)求得，即42-34＝8(岁)；还可以由(大数-差)求得，即34-26＝8(岁)。例2三年级一班有学生49人，其中女生比男生少5人。这个班男、女生各多少人？解：男生(49＋5)÷2＝27(人)，　　女生49-27=22(人)。　　答：男生27人，女生22人。例3一条客轮在一条江上往返载客。顺江而下时，每小时行80千米，逆江而上时，每小时行50千米。求这条客轮在静水中的速度和这条江的水流速度。　　分析：因为　　顺流速度=静水速度+水流速度，　　逆流速度=静水速度-水流速度，　　根据题意，静水速度与水流速度之和为80千米/时，它们的差为50千米/时，所以，这是和差问题。解：静水中船速为　　(80＋50)÷2＝65(千米/时)，　　水流速度为80-65=15(千米/时)。　　答：静水中船速65千米/时，流速15千米/时。例4哥哥今年14岁，妹妹今年8岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时，俩人各应该是多少岁？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

86　　分析：由于“年龄差”不随年份的推移而变化，所以，兄妹的年龄差始终是14-8＝6(岁)。当兄妹的岁数和是42岁时，由和差公式可以求解。解：哥哥为(42＋6)÷2＝24(岁)，　　妹妹为42-24＝18(岁)。　　答：那时哥哥24岁，妹妹18岁。例5方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本。问：方方和圆圆原来各有图书多少本？　　分析：方方给圆圆5本后，两人共有图书70本，圆圆比方方多4本。这是典型的和差问题。求出此时两人各多少本书后，就可以求出原来两人各有多少书。解：如果方方给圆圆5本，那么圆圆就有　　(70＋4)÷2＝37(本)，　　所以，原来圆圆有37-5＝32(本)，方方有70－32＝38(本)。　　答：方方有38本，圆圆有32本。例6甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有书47本。问：甲、乙、丙各有多少本书？　　分析：和差问题是指两个数的和与差，现在出现了三个数，需要化为两个数的和差问题。因为“甲的书比乙多9本，比丙多2本”，说明乙的书比丙少9-2＝7　　(本)。由“乙、丙共有书47本”，乙比丙少7本，可用和差公式求解。解：乙有书[47-(9-2)]÷2＝20(本)，　　丙有书47-20＝27(本)，　　甲有书20＋9＝29(本)。　　答：甲有29本，乙有20本，丙有27本。  练习26　　1.一农业技术员做良种对比试验。选两块大小相同、水土完全一样的土地，一块种良种小麦，一块种非良种小麦。结果共收获884千克，良种小麦比非良种小麦多收156千克。求良种与非良种小麦的产量分别是多少千克？　　2.水果店一天卖出苹果和梨共386千克，梨比苹果少卖84千克。苹果和梨各卖多少？　　3.一条船在一条江上的两个码头之间往返行驶。顺江而下时，每小时行70千米，逆江而上时，每小时行30千米。静水中的船速和江水的流速各是多少？　　4.弟弟今年15岁，姐姐今年20岁。当姐弟俩岁数的和是75岁时，两人各多少岁？　　5.两堆石子相差16粒，如果混在一起，那么可以重新分成数量都是28粒的三堆。求原来两堆石子各有多少粒？　　6.红红与兰兰共有61本书，红红给了兰兰5本书，兰兰自己又新买了3本书，红红现在比兰兰少2本书。问：两人原来各有几本书？　　7.甲仓库存粮比乙仓库多300吨，比丙仓库少100吨，乙、丙仓库共存粮3000吨。三个仓库共存粮多少吨？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

87第27讲巧用矩形面积公式　　同学们都知道求正方形和长方形面积的公式：　　正方形的面积=a×a(a为边长)，　　长方形的面积=a×b(a为长，b为宽)。　　利用这两个公式可以计算出各种各样的直角多边形的面积。例如，对左下图，我们无法直接求出它的面积，但是通过将它分割成几块，其中每一块都是正方形或长方形(见右下图)，分别计算出各块面积再求和，就得出整个图形的面积。例1右图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位：米)。这个图形的面积等于多少平方米？　分析与解：将此图形分割成长方形有下面两种较简单的方法，图形都被分割成三个长方形。根据这两种不同的分割方法，都可以计算出图形的的面积。　　5×2＋(5＋3)×3＋(5＋3＋4)×2=58(米2)；　　或　　5×(2＋3＋2)＋3×(2＋3)＋4×2＝58(米2)。　　上面的方法是通过将图形分割成若干个长方形，然后求图形面积的。实际上，我们也可以将图形“添补”成一个大长方形(见下图)，然后利用大长方形与两个小长方形的面积之差，求出图形的面积。　　(5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×3-(2＋3)×4＝58(米2)；　　或　　(5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×(3＋4)-3×4＝58(米2)。　　由例1看出，计算直角多边形面积，主要是利用“分割”和“添补”的方法，将图形演变为多个长方形的和或差，然后计算出图形的面积。其中“分割”是最基本、最常用的方法。例2右图为一个长50米、宽25米的标准游泳池。它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖(阴影部分)。求游泳池面积和地砖面积。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

88分析与解：游泳池面积=50×25＝1250(米2)。　　求地砖面积时，我们可以将阴影部分分成四个长方形(见下图)，从而可得白瓷地砖的面积为　　(2＋25＋2)×2×2＋50×2×2＝316(米2)；　　或　　(2＋50＋2)×2×2＋25×2×2＝316(米2)。　　求地砖的面积，我们还可以通过“挖”的方法，即从大长方形内“挖掉”一个小长方形(见右图)。从而可得白瓷地砖面积为　　(50＋2＋2)×(25＋2＋2)-50×25　　=316(米2)。例3下图中有三个封闭图形，每个封闭图形均由边长为1厘米的小正方形组成。试求各图形的面积。　解：每个小方格的面积为1厘米2。　　图(1)可分成四个凸出块和一个中间块，这五块的面积都是2×2＝4(厘米2)。图(1)的面积为　　4×5＝20(厘米2)。　　图(2)可以看成是从长7厘米、宽6厘米的长方形中，“挖掉”4个边长为2厘米的正方形。它的面积等于　　7×6-(2×2)×4=26(厘米2)。　　图(3)像个宝鼎，竖行分割，从左至右分成五块，每块面积依次为2，5，3，5，2厘米2，总面积为　　2＋5＋3＋5＋2＝17(厘米2)。例3中分割成正方形、长方形的方法很多，因而具体计算面积的方法也很多。由于图形内所含方格数不多，所以也可以通过数图中小方格的数目来求得面积。例4一个长方形的周长是22厘米。如果它的长和宽都是整数厘米，那么这个长方形的面积(单位：厘米2)有多少种可能值？最大、最小各是多少？解：因为长方形的周长是22厘米，所以它的长、宽之和是22÷2＝11(厘米)。考虑到长、宽都是整数厘米，只有如下情形：ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

89　　所以，这个长方形的面积有五种可能值：10，18，24，28，30厘米2。最大是30厘米2，最小是10厘米2。  练习27　　1.甲、乙两块地都是长方形，且一样长。　　(1)如果甲地面积是乙地面积的2倍，那么甲地的宽是乙地的宽的多少倍？　　(2)如果甲地的宽是乙地的宽的3倍，那么甲地面积是乙地面积的多少倍？　　2.求下列各图的面积。(单位：厘米)　　　3.把边长为40米的正方形运动场扩为长60米、宽50米的长方形运动场。此运动场面积扩大了多少？周长增加了多少？　　4.一个正方形的面积是144米2。如果它被分成六个相同的长方形(如左下图)，那么，其中一个长方形的面积和周长各是多少？　　5.右上图是用30根长4厘米的小棍摆成的图形。这个图形的面积是多少？用这些小棍摆成的面积最大的直角多边形比这个图形的面积大多少？　　6.左下图的面积是52厘米2，其中每个小方格都是一个正方形。这个图形的外沿的周长是多少？　　7.右上图由11个同样的正方形组成。如果这个图形的周长是96厘米，那么它的面积是多少？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

90第28讲一笔画(一)　　如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重　　复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。　　同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。　　　所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？　　当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。　　我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点。　　欧拉的一笔画原理是：(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。　　利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。　　顺便补充两点：ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

91(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。　　因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。(2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。　　例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即(6÷2)笔画成。　　一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。　　到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画。 练习28　　1.下列图形分别是几笔画？怎样画？　　　　2.能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？　　3.从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？　　4.如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸。问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？ ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

92第29讲一笔画(二)　　利用一笔画原理，我们可以解决许多有趣的实际问题。例1右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。如果能，应从哪开始走？分析与解：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右图。能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右图是否一笔画问题。　　右图中只有A，D两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A或D展室开始走。例1的关键是如何把一个实际问题变为判断是否一笔画问题，就像欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时做的那样。例2一个邮递员投递信件要走的街道如下页左上图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？分析与解：图中共有8个奇点，必须在8个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画。在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左上图中虚线所示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米。走法参考右上图(走法不唯一)。例3右图中每个小正方形的边长都是100米。小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？分析与解：这道题大多数同学　　都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解。首先，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，B都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点。所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如下页上图。或ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

93例2与例3的图中各有8个奇点，都是通过减少奇点个数，将多笔画变成一笔画的问题，但它们采用的方法却完全不同。因为例2中只要求走遍所有的线段，没有要求不能重复，所以通过添加线段的方法(实际是重复走添加线段的这段路)，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画。而在例3中，要求不能走重复的路，所以不能添加线段，只能通过减少线段的方法，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画。区别就在于能否重复走！能“重复”就“添线”，不能“重复”就“减线”。例4在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D。已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？分析与解：许多同学看不出这　　是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题。这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复。可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜。问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题。图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜。  练习29　　1.邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？　　2.有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右上图中的点表示村庄，线段表示道路。邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？　　3.一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？　ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

94第30讲包含与排除　　同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：　　(1)两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上(见左下图)，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？　　(2)一个正方形每条边上有6个点(见右上图)，四条边上一共有24个点吗？　　聪明的同学马上就会发现：　　(1)两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了。因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2。　　(2)四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有6×4-4＝20(个)点。　　这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。　　一般地，若已知A，B，C三部分的数量(见右图)，其中C为A，B的重复部分，则图中的数量就等于　　A＋B-C。　　因为A，B有互相包含(重复)的部分C，所以，在求A和B合在一起的数量时，就要在A＋B中减去A和B互相包含的部分C。这种方法称为包含排除法。　　实际上，我们前面已经遇到过包含与排除的问题。如，第10讲“植树问题”的例3和例4，只不过那时我们没有明确提出“包含排除法”。　　例1把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？　　解：因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长　　38＋53-4＝87(厘米)。　　例2某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？　　　分析与解：如上页左下图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-12＝16(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-12＝17(人)(见上页右下图)。　　由此得到参加语文或数学兴趣小组的有　　16＋12＋17＝45(人)。ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/

95　　根据包含排除法，直接可得　　28＋29-12＝45(人)。　　例3某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？　　分析与解：与例2对比，本例已知全班总人数，如果能仿照例2求出参加了美术或音乐小组的人数，那么只需用全班总人数减去这个人数，就得到所求的人数。　　根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12＋23-5＝30(人)。所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30=16(人)。综合列式为　　46-(12＋23-5)＝16(人)。　　例4三年级科技活动组共有63人。在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。每个同学都至少完成了一项活动。问：同时完成这两项活动的同学有多少人？　　分析与解：因42＋34＝76，76＞63，所以必有人同时完成了这两项活动。由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，　　42＋34-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)＝63。　　由减法运算法则知，完成两项活动的人数为　　76-63＝13(人)。　　例5在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？　　分析与解：如右图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数。　　前100个自然数中能被2整除的数有100÷2=50　　(个)。由100÷3＝33……1知，前100个自然数中能被3整除的数有33个。由100÷(2×3)＝16……4知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个。　　所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数。因为A，B都包含C，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有　　50＋33-16＝67(个)。  练习30　　1.三年级四班组织了一次象棋和军棋的棋类比赛，参加象棋比赛的有35人，参加军棋比赛的有24人，有16人两项比赛都参加了。这个班参加棋类比赛的共有多少人？　　2.某校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人。这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？　　3.一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了。一班有多少人两项比赛都没有参加？　　4.甲、乙两家合住在一套单元房里。甲家能够使用的面积(包括厨房、厕所、走廊等，下同)有56米2，乙家能够使用的面积有65米2，甲、乙两家都能使用的面积有30米2。求这套单元的使用面积。　　5.在自然数1～100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？　　6.在自然数1～100中，不能被2，3中任一个整除的数有多少个？ffe434c9891a607f3fb2b64e6c67c2f2.doc第96页共96页qq:745924769群：93983139tel：15327376117六六老师网站：http://jerssy.upweb.net/六六老师数学论坛：http://jerssy.uueasy.com/