湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考五数学Word版含解析.docx

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数学试卷时景：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设，向量，，.则“”是“”的A.充分不必要文件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若，，，则为A.B.C.D.4.已知角的终边上有一点，则的值为A.B.C.D.5.甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（）A.甲更合算B乙更合算C.甲乙同样合算D.无法判断谁更合算6.为参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”的演讲比赛，某班从班级初选的甲乙2名男生和6名女生共8名同学中随机选取5名组成班级代表队参加比赛，则代表队中既有男生又有女生的条件下，男生甲被选中的概率为（）A.B.C.D.7.若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（） A.B.C.D.38.已知函数的图象在处的切线与直线平行，若存在，使得不等式成立，则实数的最小值是（）A.1B.2C.3D.4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的是（）A.若样本数据的方差为4，则数据的方差为9B.若随机变量，，则C.若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱D.若事件A，B满足，，，则有10.在棱长为2的正方体中，点M，N，P分别是线段，线段，线段上的动点，且.则下列说法正确的有（）A.B.直线MN与AP所成的最大角为90°C.三棱锥的体积为定值D.当四棱锥体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.在上是增函数B.，不等式恒成立，则正实数的最小值为C.若有两个零点，，则 D.若，且，则的最大值为12.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点M为双曲线右支上一点，设.过M作两渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.为定值C.若当时，（为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线的离心率为D.当时，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线的斜率的绝对值为第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中含的系数是_______.14.若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是_______.15.已知数列满足：对恒成立，且，其前项和有最大值，则使得的最大的的值是_________.16.已知F为抛物线的焦点，由直线上的动点P作抛物线，切点分别是A，B，则与（为坐标原点）的面积之和的最小值是_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，且，，成等差数列.（1）求的通项；（2）若，，求的前项和.18.（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. （1）若，求；（2）若BC边上的高是AH，求BH的最大值.19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，，侧棱与底面所成角为60°.（1）求三棱柱的体积；（2）在线段（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为60°？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为.该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球.（1）求在前4球中，甲领先的概率；（2）12球过后，双方战平（6：6），已知继续对战奇教球后，甲率先取得11分获得胜利（获胜要求净胜2分及以上）.设净胜分为（甲，乙的得分之差），求的分布列.21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.22.（本小题满分12分）设函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）曲线与直线交于，两点，求证：；（3）证明：.参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A【解析】∵复数是纯虚数，∴且，故.∴.故复数在复平面内对应的点在第一象限，故选A.2.A【解析】因为，即；，即，故选A.3.B【解析】因为集合，，所以，，则.故选B.4.C【解析】角的终边上有一点，所以，所以.5.A【解析】设两次的单价分别是元/升，甲加两次油的平均单价为，单位：元/升，乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升，因为，，，所以，即，即甲的平均单价低，甲更合算.6.D 【解析】记“代表队中既有男生又有女生”为事件，“男生甲被选中”为事件，则，所以，所以，或者.故选D.7.D【解析】的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图.如图所示：当时，需要，即，即；当时，有，都符合条件；所以综上或，所以的取值不可以是D.故选D8.C【解析】函数的导数为，由题意可得的图象在处的切线的斜率为，由切线与直线平行，可得，解得.若存在，使得不等式成立，即为在时有解，故在时有解，令，， 则，易得，时，恒成立，故时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故时，取得最小值，则，可得的最小值为3.故选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.BD【解析】由于，所以数据的方差为16，因此选项A错误；随机变量，，则，因此选项B正确；线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故选项C错误；由于等价于“事件A与事件B相互独立”，即，故必有.因此选项D正确.故选BD.10.ABC【解析】对于A，因为正方体是棱长为2的正方体，连接，因为点M、N分别是线段、线段的动点，且，所以，而，所以，因此A正确；对于B，又，因此，因此直线MN与AP所成的角就是直线与AP所成的角，当P为中点时，直线与AP所成的角最大为90°，因此B正确； 对于C，，因此C正确；对于D，当P为点时，四棱锥体积最大，该四棱锥的外接球即正方体的外接球，其表面积为，因此D不正确.故选ABC.11.ABD【解析】A项中，令，则在是单调增函数且；又函数，易知函数在上是单调增函数，由复合函数单调性原理可知在上是增函数，所以A项正确；B项中，时，，又为正实数，所以，又，所以单调递增，所以不等式等价于，对恒成立，即.令，知，所以在上递增，在上递减，所以，所以B项正确；C项中，易知在上递减，在上递增，，所以，不妨设，则必有，若，则等价于，等价于，等价于，令，，，即在上递增，所以，则时，，所以不成立，即C错误；D项中，由在上递减，在上递增，在上递减，在上递增，易知有唯一的解，又，所以，由，即，即有，所以，即，所以，又，所以，所以D正确.12.BCD 【解析】对于A，因为是双曲线C的右焦点，点M为双曲线右支上一点，所以由双曲线性质知：线段长度的最小值为，故A错误；对于B，设，两渐近线方程分别为：，，所以，故B正确；对于C，因为，所以，而（为坐标原点）恰好为等边三角形，因此由知：，，所以由双曲线的定义知：，即，即双曲线的离心率，故C正确；对于D，如图，设直线与圆相切于点A，连接OA，则，且.作于点B，则.又因为，所以，，因此在中，.又点在双曲线右支上，所以，整理得，即，因此双曲线的渐近线的斜率的绝对值，故D正确.故选BCD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.-12【解析】略 14.【解析】由题意可得直线：恒过定点，曲线：图象为以为圆心，2为半径的上半圆，它们的图象如图所示，当直线过点时，它们有两个交点，此时，当直线与上半部分圆相切时，有一个交点，此时，由图象可知，若直线与曲线有两个不同的交点，则，即实数的取值范围是.15.15【解析】略16.【解析】略四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）若，而首项，则，，，不合题意，故.则，∴，则.（2）略18.【解析】（1）由有： ，即：.即，又，∴，由正弦定理得：.（2）方法一：由及知，顶点在的外接圆上，且在边所对的优弧上，外接圆的直径.当与外接圆相切且在的延长线上时最大，此时，.方法二：，∵，∴时，取得最大值.19.【解析】（1）取中点M，连接AM，DM.因为为正三角形，为等腰三角形且以BC为底，故，（三线合一），所以平面.又平面，所以平面平面，故在平面的射影在射线AM上，为侧棱AD与底面所成角，即.在中，，，由余弦定理知，故三棱锥为正三棱锥，高，底面的面积， 三棱柱的高也为2，故三棱柱的体积.（2）以M为坐标原点，MA、MB为，轴建立如图所示坐标系.依题意，，，，，假设存在点满足题意，设，，，.设平面的法向量为，则取，平面的法向量.依题意，，解得，故当位于点时，满足要求.20.【解析】（1）甲与乙的比分是4：0的概率为；比分是3：1的概率为. 故前4球中，甲领先的概率为，（2）依题意，接下来由甲先发球.继续对战奇数球后，甲获得11分胜利，即甲11：6或11：8获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜.设甲发球的两次对战中，甲乙比分为“2：0”，“1：1”，“0：2”依次为事件，，；设乙发球的两次对战中，甲乙比分为“2：0”，“1：1”，“0：2”依次为事件，，.由条件可知，，，，，，.，故甲依题意获胜的概率为.的所有可能取值为3，5，由条件概率有，，，故的分布列为：3521.【解析】∵，所以.设椭圆方程为，将代入，得.故椭圆方程为.（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，易得，；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设，，设直线的方程为，则直线的方程为，将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得：， ∴，，∴，同理，，∴，令，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴.综合②可知，的取值范围为.22.【解析】（1）当时，，，时，，单调递减；时，，单调递增.（2），则，由题意，知有两解，，不妨设， 要证，即证，①若，则；②若，由知，在上单调递减，在上单调递增，也有，综合①②知，，所以只需证（*）.又，，∴两式相减，整理得，代入（*）式，得，即.令，即证.令，则，∴在其定义域上为增函数，∴，∴成立.（3）由（2）知，，故，，取，，所以，，累加，得.