重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校2024届高三上学期九月测试数学Word版含解析.docx

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重庆第二外国语学校高2024届高三（上）九月测试数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的求解方法，结合集合的交集，可得答案.【详解】由不等式，分解因式可得，解得，则，所以.故选：A.2.已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（）A.36B.30C.15D.10【答案】C【解析】【分析】先根据“所有项的系数和”求得，然后利用二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】令，则可得所有项的系数和为且，解得，∵的展开式中的通项，∴当时，展开式中的常数项为.故选：C3.已知，是实数，且满足，则（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】取特殊值验证，可判断A，B，D；利用不等式性质结合基本不等式可判断C.【详解】对于A，取，则，A错误；对于B，取，，B错误‘对于C，因为，故，，，故，C正确；对于D，取，则，D错误；故选：C4.定义在上的函数满足，当时，，当时，，则（）A.336B.338C.337D.339【答案】B【解析】【分析】由得到函数的周期为6，只需求出，再结合函数的周期性求解.【详解】因为当时，，所以，，，，又因为，所以，即函数的周期为6，，当时，，所以，，因为，所以，所以.故.故选：B5.已知函数，设数列的通项公式为，则（）A.36B.24C.20D.18 【答案】D【解析】【分析】先根据解析式求出对称中心，再结合等差数列项的性质计算求解即可.【详解】，所以曲线的对称中心为，即，因为，易知数列为等差数列，，，所以，所以.故选:D.6.定义在上的函数满足:对任意，都有，且为奇函数，则下列选项正确的是（）A.B.C.为偶函数D.为奇函数【答案】C【解析】【分析】根据已知条件推出是周期为4，关于、对称的偶函数，再结合、与的平移伸缩关系判断各项的正误.【详解】由为奇函数，则，即，B错；所以关于对称，由，令，则，即，所以关于对称，则关于，即y轴对称，C对； 所以，则，故，则，即的周期为4，则，综上，是周期为4，关于、对称偶函数，将所有横坐标缩短为原来的一半得到函数，所以是周期为2，关于、对称的偶函数，D错；则，A错；故选：C7.在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】方法一：先求出事件A包含的基本事件个数，再根据古典概型的公式计算即可．【详解】方法一：设六棵树从矮到高的顺序为1，2，3，4，5，6，后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高为事件A．则6必在后排，1在前排，因此，分为1-6相对和1-6不对两种情况（相对的意思是前后相邻），（1）1-6相对：5必在后排，2必在前排，因此，又可分为2-5相对和2-5不对两种情况，①2-5相对时，3-4相对且4在后排，所以有种情况；②2-5不对，有种情况．（2）1-6不对：可分为5在前排和5在后排两种情况，（ⅰ）5在前排，则5-6相对且4在后排，又可分为1-4相对和1-4不对两种情况，1-4相对：有种；1-4不对：有种．（ⅱ）5在后排，又可分为1-5相对和1-5不对两种情况，①1-5相对：2必在前排，又分为2-6相对和2-6不对两种， 2-6相对：有种；2-6不对：有种．②1-5不对，有种．所以.故选：C．方法二：将设六棵树从矮到高的顺序为1，2，3，4，5，6，后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高为事件A，所以，.故选：C．【点睛】本题的解题关键是合理分类，首先根据题意知6必在后排，1必在前排，所以根据1，6的位置关系分为两种情况，接下来就是根据每种情况，把能定下来的位置先定下来，不能定的就继续分类讨论，直至求出所有适合的基本事件个数．两个计数原理在解题时发挥了关键作用．8.已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，由题意可得，设，，根据对称性可得，，根据双曲线的定义可得，，，整理可得关于，的齐次方程，再由离心率公式即可求解.【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，，因为以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，所以，圆心为，半径为，根据双曲线的对称性可得四边形是矩形，设，， 则，由可得，所以，所以，所以.故选：B.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.等差数列的公差为，前项和为；等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为，下列说法正确的是（）A.是等比数列，公比为B.是等差数列，公差为C.若，则，，成等差数列，公差是D.若，则，，成等比数列，公比是【答案】ABD【解析】【分析】由等差数列和等比数列的概念可以判断AB正确；由前项和的概念与等差数列的概念以及等比数列的概念可以判断C错误，D正确.【详解】A：因为等差数列的公差为d，所以，故A正确； B：因为等比数列的各项均为正数，公比为，所以，，故B正确；C：当时，，又但是，所以，同理，所以，，成等差数列，公差是，故C错误；D：当时，，，又等比数列的各项均为正数，，且所以，同理即，，成等比数列，公比是，故D正确；故选：ABD.10.已知函数，则“对，使得 成立”的充分不必要条件可以是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】先求命题成立的充要条件，然后利用取值范围的真包含关系，得充分不必要条件.【详解】由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以时，，函数在单调递增，所以时，对，使得成立，则有，即，得对，使得成立的充要条件为，各选项中，有ÜÜÜ则“对，使得成立”的充分不必要条件可以是BCD选项.故选：BCD11.已知定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（）A.B.C.若，则D.若对任意的实数，，则是单调增函数【答案】BCD【解析】【分析】利用赋值法即可判断AB，结合基本不等式即可判断C，由单调性的定义即可判断D.【详解】时，，∴或，A错. 取，，B对.，由B知：所以，C对.由可知：当时，，此时，∴，故对任意的有，所以不存在使，故对，，当时，，故，∴在上单调递增，D对.故选：BCD.12.已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（）A.当，有1个零点B.当时，有3个零点C.当，有2个零点D.当时，有7个零点【答案】ABD【解析】【分析】将函数的零点个数问题转化为解的个数问题，设，即有，然后结合每个选项中t的范围作出函数图象，数形结合，即可求解相应方程的解，进而确定函数零点个数.详解】令，则，设，则等价于，则函数的零点个数问题即为解的个数问题；二次函数，其图象开口向上，过点，对称轴为，对于A，当时，作出函数的图象如图： 由图象可知有一个根，则由可知此时方程只有一个解，此时函数的零点个数为1，A正确；对于B，当时，，作出函数的图象如图：由图象可知有一个根，令，令，则有3个解，即和，此时此时函数有3个零点，B正确；对于C，当时，分析同A，函数有1个零点，C错误；对于D，当时，，作出函数的图象如图： 由图象可知有3个根，当时，；当时，，则对于，当时，，当时，，此时共有3个解；对于，此时有1个解，即有2个解，对于，此时有1个解，即无解，故此时函数有7个零点，D正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：本题是关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数,若，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】分段讨论求出和的解析式，代入可求出结果. 【详解】（i）当，即时，，，由得，即，因为，所以恒成立，所以；（ii）当，即时，，，由得，即，即恒成立，所以；（iii）当，即时，，，由得，即，所以，综上所述：的取值范围是.故答案为：14.某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系．身高体重超重不超重总计偏高415不偏高31215总计71320附表：0.10.050.010005 2.7063.8416.6357.879【答案】0.05【解析】【分析】根据给定的列联表求出的观测值，再与临界值表比对作答.【详解】由列联表知，，所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关．故答案为：0.0515.是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，当面积最小时，点的坐标是___________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，设出点的坐标，并表示出点的横坐标，再列出三角形面积的关系式，利用均值不等式求解作答.【详解】依题意，设，，则，而，则有，显然，于是，由点在x轴正半轴上，得，面积，当且仅当，即时取等号，所以当面积最小时，点的坐标是.故答案为： 16.如图抛物线的顶点为A，焦点为F，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为B，焦点也为F，准线为，焦准距为6．和交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是______①；②四边形MNST的面积为；③；④的取值范围为.【答案】①②③④【解析】【分析】根据抛物线的定义可得判断①，以为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程为，可得，进而判断②，利用抛物线的定义结合条件可得可判断③，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断④.【详解】设直线与直线分别交于由题可知，所以，，故①正确；如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，所以抛物线的方程为， 连接，由抛物线的定义可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四边形的面积为，故②正确；连接，因为，所以，所以，故，故③正确；根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，当点在抛物线，点在抛物线上时，，当与重合时，最小，最小值为，当与重合，点在抛物线上时，因为，直线，与抛物线的方程为联立，可得，设，则，，所以；当点在抛物线，点在抛物线上时，设，与抛物线的方程为联立，可得，设，则，， 当，即时取等号，故此时；当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；综上，，故④正确.故答案为：①②③④.【点睛】构建平面直角坐标系，结合抛物线定义可求解长度和角度问题，判断①②，根据抛物线的对称性，判断，从而，从而判断③，分别讨论的位置，然后判断的取值范围，判断④，是本题的难点.四、解答题（本题共6小题，共70分）17.已知数列的前项和为，且（1）求及数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用的关系，相减可得为等比数列，即可求解，（2）利用错位相减法即可求解.【小问1详解】，，,，两式详解得，又因，，故数列为等比数列，且公比为2，首项为， 故【小问2详解】由题意得，解得所以，，相减得解得18.如图，在五面体中，平面，，，．（1）求证：平面平面；（2）若，五面体的体积为，求平面与面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明线面垂直，来证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与面所成角的余弦值，再转化为正弦值.小问1详解】取的中点，连接，因为，所以， 因为平面，平面，所以，由于平面，所以平面.取的中点，连接，则，由于，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小问2详解】在等腰三角形中，，过作，垂足为，则，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，设，则,.由（1）可知两两相互垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面与平面的一个法向量分别为，所以，，设平面与平面所成角为， 则，所以.19.已知函数．（1）若是的极值点，求的单调性；（2）若恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）增区间为；减区间为（2）【解析】【分析】（1）由求得的值，再由求得的单调区间.（2）代入可得，再结合函数单调性确定最值后即可得解.【小问1详解】的定义域为，，若是的极值点，则，解得，此时，在区间上单调递增；在区间上单调递减. 此时是的极小值点，符合题意.综上所述，的增区间为；减区间为.【小问2详解】，由，得①，设，所以当时，，①不成立，故，，所以在区间上单调递减；在区间上，单调递增，所以，解得.综上所述，的取值范围是.【点睛】利用导数研究函数的极值点，除了以外，还需要在左右两侧的单调性相反.利用导数研究含参数的不等式恒成立问题，可以考虑利用分离参数法，也可以直接构造函数，然后利用导数进行研究.20.2023年游泳世锦赛于7月14日—30日在日本福冈进行，甲、乙两名10米跳台双人赛的选手，在备战世锦赛时挑战某高难度动作，每轮均挑战3次，每次挑战的结果只有成功和失败两种.（1）甲在每次挑战中，成功的概率都为.设甲在3次挑战中成功的次数为，求随机变量的分布列和数学期望；（2）乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，由于教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，改变规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.15.求乙在第三次成功的概率.【答案】（1）分布列见解析，2 （2）0.85875.【解析】【分析】（1）由已知服从二项分布，即，然后列出相应的分布列即可.（2）根据条件概率公式以及互斥事件的和事件的概率公式，列出相应的计算公式即可求解.【小问1详解】由题意得，则，其中，则的分布列为：0123则.【小问2详解】设事件为“乙在第次挑战成功”，其中.所以；；；；故.即乙在第三次成功的概率为0.85875.21.已知圆，圆上有一动点P，线段PF的中垂线与线段PE交于点Q，记点Q的轨迹为C．第一象限有一点M在曲线C上，满足轴，一条动直线与曲线C交于A、B两点，且直线MA与直线MB的斜率乘积为．（1）求曲线C的方程；（2）当直线AB与圆E相交所成的弦长最短时，求直线AB的方程． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义判断Q点轨迹为椭圆，求出的值，即得答案；（2）讨论AB的斜率是否存在，存在时，设出直线方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合直线MA与直线MB的斜率乘积化简可得参数之间的关系，进而确定直线过定点，结合圆的几何性质，即可求得答案.【小问1详解】由题意得，故Q点轨迹为椭圆，焦点为,且，故椭圆方程为；【小问2详解】由题意可知，当直线AB斜率不存在时，设方程为，代入，可得，不妨设， 此时，化简得，解得或，时，直线斜率不存在，不合题意，舍去，故，则直线AB的方程为；当直线AB斜率存在时，设，直线方程设为，联立得，则需满足，，，由，可得，化简得，即，即， 当时，直线AB的方程为为，过定点，此时，不合题意，舍去；当时，直线AB的方程为为，此时直线过定点，不妨设为，直线也过，由于点N满足，故在椭圆内，所以成立，又因为在椭圆内，所以当直线AB与圆E相交所成的弦长最短时，应满足，而，故，故，故此时直线AB的方程为，即.【点睛】难点点睛：本题考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系的应用问题，难点在于第二问的求解，解答时注意设直线方程并联立椭圆方程，利用根与系数的关系进行化简，困难的是计算十分复杂，计算量也大，几乎都是字母参数的运算，因此要求思路清晰，计算准确.22.已知函数，，若曲线与相切.（1）求函数的单调区间；（2）若曲线上存在两个不同点，关于y轴的对称点均在图象上.①求实数m的取值范围；②证明：.【答案】（1）递减区间为，递增区间为（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）设切点坐标,利用导数得出切线斜率，写出处切线方程，又切线方程为，对照得出方程，结合导数求出参数，再利用导数求出单调区间； （2）①设，，根据对称关系得出有两个不等的实根，令，通过导数求出函数的单调性及最值，得出结果.②不妨设，要证明，即证，故只需证，设，利用导数求出函数的单调区间得出结果.【小问1详解】设曲线与的切点坐标为，由，得.故切线方程为：，即，又切线方程为，所以，①且，②设，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，最大值为，由②可得：代入①得：，故，所以递减区间为，递增区间为.【小问2详解】由（1）知，故，，①，关于y轴的对称点为，，由已知得：，，即有两个不等的实根，，令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增， ，又，，，，且，故实数m的取值范围是；②不妨设，要证明，即证，因为当时，单调递减，故只需证，又，即证明，令，因为，故，故，在单调递减，所以.故，即，所以.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧,许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.