2015创新设计(高中理科数学)题组训练5-1

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1、第1讲　数列的概念与简单表示法基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·深圳中学模拟)数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)．A．an＝(n∈N*)B．an＝(n∈N*)C．an＝(n∈N*)D．an＝(n∈N*)解析　将0写成，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n－1)，n∈N*；分母为奇数列，可表示为2n－1，n∈N*，故选C.答案　C2．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则＝(　　)．A.B.C.D．30解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5×(5＋1)＝30.答案　D3．(2014·贵阳模拟)已知数列{an}的前n项

2、和为Sn，且Sn＝2n2－1，则a3＝(　　)．A．－10B．6C．10D．14解析　a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.答案　C4．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(　　)．A．2n－1B.n－1C．n2D．n解析　法一　(构造法)由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，∴＝，∴数列是常数列．且＝＝1，∴an＝n.法二　(累乘法)：n≥2时，＝，＝.…＝，＝，两边分别相乘得＝n，又因为a1＝1，∴an＝n.答案　D5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)．A．2n－1B.n－1C.

3、n－1D.解析　∵Sn＝2an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＝2an，∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，即＝(n≥2)，又a2＝，∴an＝×n－2(n≥2)．当n＝1时，a1＝1≠×－1＝，∴an＝∴Sn＝2an＋1＝2××n－1＝n－1.答案　B二、填空题6．(2013·蚌埠模拟)数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．解析　易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或

4、11项和最大．答案　10或117．(2014·广州模拟)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则数列{an}的通项公式为________．解析　∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，两式左右两边分别相减得3n－1an＝，∴an＝(n≥2)．由题意知，a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N*)．答案　an＝8．(2013·淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．解析　每行的第二个数构成一个数列{an}，由题意知a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，所以a3－a2＝3，a4－

5、a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2(n－1)－1＝2n－3，等式两边同时相加得an－a2＝＝n2－2n，所以an＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2)，所以a9＝92－2×9＋3＝66.答案　66三、解答题9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解　(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>

6、0，解得n>6或n<1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．10．在数列{an}中，a1＝1，Sn为其前n项和，且an＋1＝2Sn＋n2－n＋1.(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的前n项和Tn；(2)求数列{an}的通项公式．解　(1)∵an＋1＝2Sn＋n2－n＋1，∴an＝2Sn－1＋(n－1)2－(n－1)＋1(n≥2)，两式相减得，an＋1－an＝2an＋2n－2(n≥2)．由已知可得a2＝3，∴n＝1时上式也成立．∴an＋1－3an＝2n－2(n∈N*)，an－3an－1＝2(n－1)－2(n≥2)．两式相减，得(an＋1－an)－3(an－an－1)＝2(n≥2)．∵bn

7、＝an＋1－an，∴bn－3bn－1＝2(n≥2)，bn＋1＝3(bn－1＋1)(n≥2)．∵b1＋1＝3≠0，∴{bn＋1}是以3为公比，3为首项的等比数列，∴bn＋1＝3×3n－1＝3n，∴bn＝3n－1.∴Tn＝31＋32＋…＋3n－n＝·3n＋1－n－.(2)由(1)知，an＋1－an＝3n－1，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a