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《2018版高中数学（人教b版）必修五学案第二章 2.3.1 等比数列（二）含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、www.ks5u.com2.3.1 等比数列(二)[学习目标] 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断成等比数列的方法．[知识链接]在等差数列{an}中，通项公式可推广为am＝an＋(m－n)d，并且若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？[预习导引]1．等比数列的第二通项公式等比数列的通项公式为：an＝a1qn－1，推广形式为：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．2．
2、等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k时，am·an＝a.(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列．(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列{}，{an·bn}，{}，{
3、an
4、}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，
5、q1
6、.(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即
7、a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….要点一 等比数列性质的应用例1 已知数列{an}为等比数列．(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．解 (1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，-5-∴a＋2a3a5＋a＝36，∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.(2)∵a＝a1a3代入已知，得a＝8，∴a2＝2.设前三项为，2,2q，则有＋2＋2q＝7.整理，得2q2－5q＋2＝0，∴
8、q＝2或q＝.∴或∴an＝2n－1或an＝23－n.规律方法 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．跟踪演练1 (1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．(2)已知数列{an}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．解 (1)在等比数列{an}中，∵a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得a3·a7＝64且a3＋a7＝20.联
9、立得或∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3.∴取a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4.∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.(2)由a3a5＝a，得a3a4a5＝a＝8.解得a4＝2.又∵a2a6＝a3a5＝a，∴a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.要点二 灵活设项求解等比数列例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解 方法一 设四个数依次为a－d，a，a＋d，，由条件得解得或所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为
10、0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二 设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)，由条件得解得或当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝3，q＝时，所求四个数为15,9,3,1.-5-故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.规律方法 合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.跟踪演练2 三个数成等比
11、数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．解 设三个数依次为，a，aq，∵·a·aq＝512，∴a＝8.∵(－2)＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.要点三 等差数列与等比数列的综合应用例3 设数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足bn＝(m∈N＋)．(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt(t∈N＋，t≥5)成等差数列？若存在，
12、请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝1；符合上式．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(1)由bn＝(m∈N＋)知，b1＝，b2＝，b8＝，∵b1，b2，b8成等比数列，∴()2＝
