4.1微分方程的基本概念

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1、第一节微分方程的基本概念一、问题的提出(探照灯反射镜)二、微分方程的定义三、主要问题--求方程的解解一、问题的提出解例2已知质点从静止开始运动,在任一时刻t,质点的加速度为a(t)=t+2,求质点的运动方程.解代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需1、微分方程定义例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义注意:在一个微分方程中,自变量,未知函数可以不出现,但未知函数的导数(或微分)一定要出现.凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.2、微分方程的阶

2、微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.例:指出下列各微分方程的阶分类1:常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n阶)微分方程分类2:一阶与高阶微分方程.代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.1、微分方程的解2、微分方程的解的分类1)通解若微分方程的解中含有独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这解为微分方程的通解.2)特解:用一些条件确定通解中任意常数而得到的解称为微分方程的特解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.3)初始条件:用来确

3、定任意常数的条件.一阶:二阶:过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.3、初值问题(Cauchy问题)求微分方程满足初始条件的解的问题.解所求特解为思考题(A)通解；(B)解，但不是通解；(C)特解；(D)解，但不一定是通解.(A)通解；(B)解，但不是通解；(C)特解；(D)解，但不一定是通解.补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;四、小

4、结思考题思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.练习题练习题答案