微分方程的基本概念(I)

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1、第四章微分方程—积分问题—微分方程问题推广第一节微分方程的基本概念一、问题的提出二、微分方程的定义解一、引例例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:将x=1,y=2代入上式，解得:C=1,故所求曲线方程为解例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度0.4米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？设列车在制动后t秒行驶了s=s(t)米,则有如下关系式:代入条件后知开始制动到列车完全停住共需列车在这段时间内行驶了1、微分方程定义例实

2、质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的基本概念注意:在一个微分方程中,自变量,未知函数可以不出现,但未知函数的导数(或微分)一定要出现.凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.（differentialequation）2、微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.例:指出下列各微分方程的阶代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.3、微分方程的解引例2引例14、微分方程的解的分类1)若微分方程的解中含有独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这解为微分方程的通解(generalsolution)

3、.2)用一些条件确定通解中任意常数而得到的解称为微分方程的特解(particularsolution).引例2引例1通解特解特解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.3)用来确定微分方程通解中的任意常数的值的称为定解条件.一阶微分方程:二阶微分方程:定解条件通常也称为初值条件(initialcondition).引例2引例1(或初始条件)过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.5、初值问题(Cauchy问题)求微分方程满足初始条件的解的问题.解所求特解为思考题(A)通解；(B)解，但不是通解；(C)特解；(D)解，但不一定是通解.(A)通解；(B

4、)解，但不是通解；(C)特解；(D)解，但不一定是通解.4、已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q且线段PQ被y轴平分,求所满足的微分方程.4、已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q且线段PQ被y轴平分,求所满足的微分方程.解如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;三、小结练习3212