牛顿-拉夫逊法求解非线性方程

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1、牛顿-拉夫逊法潮流计算一、基本原理设有单变量非线性方程求解此方程时，先给出解的近似值，它与真解的误差为，则满足方程（11-29），即将上式左边的函数在附近展成泰勒级数，便得式中，分别为函数在处的一阶导数，…，阶导数。如果差值很小，的二次及以上的各项均可略去，式（11-30）便简化成这是对于亦是的修正量的线性方程式，亦称修正方程式。解此方程可得修正量用所求得的去修正近似解，便得修正后的近似解同真解仍然有误差。为了进一步逼近真解，这样的迭代计算可以反复进行下去，迭代计算的通式是图11-26牛顿法的几何解释迭代过程的收敛判据为或式中，和为预先给定的小正数。这种解法的几何意义可以从图11-2

2、6得到说明。函数为图中的曲线。的解相当于曲线与轴的交点。如果第次迭代中得到，则过点作一切线，此切线同轴的交点便确定了下一个近似解。由此可见，牛顿拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步线性化的方法。牛顿法不仅用于求解单变量方程，它也是求解多变量非线性代数方程的有效方法。设有个联立的非线性代数方程假定已给出各变量的初值，令分别为各变量的修正量，使其满足方程（11-34）,即将上式中的个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数，并略去含有的二次及以上阶次的各项，便得方程式（11-36）也可以写成矩阵形式方程式（11-37）对于修正量的线性方程，称为牛顿法的修正方程式。利用高斯消去或三角分解可以解

3、出修正量。然后对初始近似解进行修正如此反复迭代，在进行第次迭代时，从求解修正方程式得到修正量，并对各变量进行修正式（11-39）和式（11-40）也可以缩写为和式中，和分别是由个变量和修正量组成的维列向量；是由个多元函数组成的维列向量；是阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第个元素是第个函数对第个变量的偏导数；上角标表示阵的每一个元素都在点处取值。迭代过程一直进行到满足收敛判据或为止。和为预先给定的小正数。