第一章 解三角形章末回顾 学案（人教b版必修5）

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1、第一章解三角形本章回顾1．三角形中的边角关系设△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C.(1)三角形内角和定理A＋B＋C＝π.(2)三角形中的诱导公式sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sin＝cos，cos＝sin，tan＝cot.(3)三角形中的边角关系a＝b⇔A＝B；a>b⇔A>B；a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b.(4)三角形中几个常用结论①在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB(其余两个略)；②在△ABC中，sinA>sinB⇔A>B；③在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.2

2、．正弦定理(1)正弦定理在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，则＝＝＝2R.其中R是△ABC外接圆半径．(2)正弦定理的变形公式正弦定理反映了三角形的边角关系．它有以下几种变形公式，解题时要灵活运用．①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；④＝，＝，＝.3．余弦定理(1)余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)余弦

3、定理的推论cosA＝；cosB＝；cosC＝.4．三角形的面积三角形面积公式S△＝aha＝bhb＝chc；S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA；S△＝(a＋b＋c)r(r为△ABC内切圆半径)；S△＝(R为△ABC外接圆半径)；S△＝.5．解三角形的常见类型及解法在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解该三角形，按已知条件可分为以下几种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解．两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出

4、小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解．三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解．两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解.6．已知两边及一边对角解三角形，解的个数的判断在△ABC中，以已知a，b，A为例判断方法如下表：A为锐角图形关系式a＝bsinAbsinAba≤ba>ba≤b解个数一解无解一

5、解无解一、构建方程(组)解三角问题例1　如图所示，设P是正方形ABCD内部的一点，P到顶点A、B、C的距离分别是1,2,3，求正方形的边长．解　设边长为x，x>0，在△ABP中，cos∠ABP＝＝，在△CBP中，cos∠CBP＝＝，又cos2∠ABP＋cos2∠CBP＝1，∴2＋2＝1.∴x2＝5＋2或x2＝5－2所以，x＝，即正方形的边长为.例2　如图所示，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔尖A处的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500m，求塔高AB.分析　设AB＝h，则MB，NB，PB都可用h来表示，在底面△BMP中，MN＝P

6、N＝500m，借助△MNB与△MPB，利用公共角∠PMB，结合余弦定理的推论得出方程可求解．解　设AB＝h，∵AB⊥MB，AB⊥NB，AB⊥PB，又∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，∴MB＝h，NB＝h，PB＝h.在△MPB中，cos∠PMB＝＝.在△MNB中，cos∠NMB＝＝.∴＝.整理，得h＝250.∴塔高AB为250m.二、构建目标函数解三角问题例3　如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y

7、表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．分析　四边形OPDC可以分成△OPC与△PCD.S△OPC可用OP·OC·sinθ表示；而求△PCD的面积关键在于求出边长PC，在△POC中利用余弦定理即可求出；至于面积最值的获得，则可通过三角函数知识解决．解　(1)在△POC中，由余弦定理，得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cosθ＝5－4cosθ，所以y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sinθ＋×(5－4cosθ)＝2sin＋.(2)当θ－＝，即θ＝时，ymax