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1、初中数学竞赛辅导资料（44）数的整除（二）甲内容提要第一讲介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.几个常用的定理，公式，法则：⑴ n个连续正整数的积能被n！整除.（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）.例如：a为整数时，2a(a+1)， 6a(a+1)(a+2), 24a(a+1)(a+2)(a+3)，……⑵ 若a且ac, 则 a(bc).⑶ 若a, b互质，且ac,bc， 则abc.反过来也成立：a, b互质， abc， 则ac,bc.例如：8和15互质，8｜a
2、,15
3、a， 则120｜a.反过来也成立： 若120｜a. 则 8｜a,15
4、a.⑷由乘法公式（n为正整数）推得：由(a－b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1)=an－bn. 得(a－b)
5、(an－bn).(a+b)(a2n－a2n－1b+……ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1. (a+b)
6、(a2n+1+b2n+1).(a+b)(a2n－1－a2n－2b+……+ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n.(a+b)
7、(a2n－b2n). 概括起来：齐偶数次幂的差式a2n－b2n含有因式a＋b和a
8、－b.齐奇数次幂的和或差式a2n+1＋b2n+1或a2n+1－b2n+1只分别含有因式a＋b或a－b.例如（a+b）
9、(a6－b6), (a－b)
10、(a8－b8)；(a+b)
11、(a5+b5)， (a－b)
12、(a5－b5).乙例题例1.已知:整数n>2. 求证：n5－5n3+4n能被120整除..证明：n5－5n3+4n＝n(n4－5n2+4)=n(n－1)(n+1)(n+2)(n－2). ∵(n－2)(n－1)n(n+1)(n＋2)是五个连续整数，能被n!整除，∴ 120｜n5－5n3+4n.例2.已知：n为正整数. 求证：n3+n2+n
13、是3的倍数.证明：n3+n2+n＝n（2n2+3n+1）=n(n+1)(2n+1) =n(n+1)(n+2+n－1)=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n－1).∵ 3！｜n(n+1)(n+2)， 且3！｜n(n+1)(n－1)..∴ 3｜n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n－1).即n3+n2+n是3的倍数. （上两例关鍵在于创造连续整数）例3. 求证：⑴ 33｜255＋1； ⑵ 1989｜（19901990－19881988）.证明：⑴ 255＋1＝25×11＋111＝3211＋111. ∵(32＋1)
14、(3211+11
15、1)，即33｜255＋1. ⑵ 19901990－19881988＝19901990－19881990＋19881990－19881988.（添两项）∵（1990＋1988）｜（19901990－19881990）. 即1989×2｜（19901990－19881990）.∵ 19881990－19881988=19881988(19882－1)＝19881988（1988＋1）（1988－1）.即 19901990－19881988＝1989×2N＋1989×19881988×1987. （N是整数） ∴ 1989｜19901990－1
16、9881988.例4 设n是正整数， 求证：7｜（32n+1+2n+2）.证明：32n+1+2n+2＝3×32n+4×2n=3×9n+4×2n＋3×2 n－3×2 n （添两项）＝（4×2n＋3×2 n）＋（3×9n－3×2 n）＝（4＋3）＋3（9n－2 n）＝7×2n＋3（9－2）N.（N是整数）∴7｜（32n+1+2n+2） （例3，4是设法利用乘法公式）例5.已知能被33整除，求x, y的值.解：∵33＝3×11，∴1＋9+x+y+8+7其和是3的倍数， 即x+y=3K－25(k为整数).又（1＋x+8）－(9+y+7)其差是11的倍
17、数，即x－y=11h+7(h是整数).∵0≤x≤9， 0≤y≤9，∴0≤x＋y≤18，9≤x－y≤9，x+y>x－y,且x+y和x－y同是奇数或偶数.符合条件的有 .解得.例6.设N＝，且17｜N,求 x..解：N＝2078＋100x=17×122＋4＋17×6x－2x＝17×（122＋6x）+4－2x.∵ 17｜N， ∴17｜4－2x，当4－2x=0.∴ x=2.丙练习441.要使2n+1能被3整除，整数n应取＿＿＿，若6｜（5n－1）,则整数n应取＿＿＿.2.求证：① 4!
18、（n4+2n3－n2－2n）； ② 24｜n(n2－1)(3
19、n+2)；③ 6｜（n3+11n）； ④ 30｜（n5－n）.3.求证：① 100｜9910－1）； ② 57｜（23333＋72222）；③ 995｜（
