2018届高三数学第二轮复习(空间位置关系与证明)

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1、空间位置关系与证明★★★高考要考什么一．线与线的位置关系:平行、相交、异面；线与面的位置关系:平行、相交、线在面内；面与面的位置关系:平行、相交；二．转化思想：；★★★高考将考什么【范例1】（07天津）如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明平面；（Ⅲ）求二面角的大小．（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．，平面．而平面，．（Ⅱ）证明：由，，可得．是的中点，．由（Ⅰ）知，，且，所以平面．而平面，．底面在底面内的射影是，，．又，综上得平面．（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面

2、内的射影是，则．因此是二面角的平面角．由已知，得．设，可得．在中，，，则．在中，．解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．9过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．由已知，可得，设，可得．，．于是，．在中，．所以二面角的大小是．所以二面角的大小是．M变式：如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．（1）证明//平面；（2）设，证明平面．证明：（Ⅰ）取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，，又，则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.又平面CDE，EM平面C

3、DE，∴FO∥平面CDE（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，且.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而，所以EO⊥平面CDF.ABCD【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。【范例2】（07安徽）如图，在六面体中，四边形9是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，．（Ⅰ）求证：与共面，与共面．（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求二面角的大

4、小（用反三角函数值表示）．证明：以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则有．（Ⅰ）证明：．ABCD．与平行，与平行，于是与共面，与共面．（Ⅱ）证明：，，，．与是平面内的两条相交直线．平面．又平面过．平面平面．（Ⅲ）解：．设为平面的法向量，9，．于是，取，则，．设为平面的法向量，，．于是，取，则，．．二面角的大小为．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：平面，平面．ABCD，，平面平面．于是，．设分别为的中点，连结，有．，于是．由，得，故，与共面．过点作平面于点，则，连结，于是，，．，．，．9所以点在上，故与

5、共面．（Ⅱ）证明：平面，，又（正方形的对角线互相垂直），与是平面内的两条相交直线，平面．又平面过，平面平面．（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，根据三垂线定理，有．过点在平面内作于，连结，则平面，于是，所以，是二面角的一个平面角．根据勾股定理，有．，有，，，．，，二面角的大小为．变式（07江苏）如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．（1）求证：四点共面；（4分）（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面；（4分）9（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．证明：（1）建立如图所示的坐标系，则，，，所

6、以，故，，共面．又它们有公共点，所以四点共面．（2）如图，设，则，而，由题设得，得．因为，，有，又，，所以，，从而，．故平面．（3）设向量截面，于是，．而，，得，，解得，，所以．又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．于是．故．【范例3】如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.解析：法1（1）∵AE⊥面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到

7、面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故9（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x法2：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0),C(0，2，0).（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（

8、3）设平面D1EC的法向量，∴由令b=1,∴c=2,a=2－x，∴依题意∴（不合，舍去），.∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为.变式：如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；（Ⅱ）证明PA⊥BD.