构造法求递推数列的通项公式

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1、www.ehappystudy.com　　　　快乐学习，尽在苏州中学网校巧用构造法求递推数列的通项公式蒋明权利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，自从二十世纪八十年代以来，一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略，希望能抛砖引玉。一、构造等差数列法例1.在数列{an}中，，求通项公式an。解：对原递推式两边同除以可得：①令②则①即为，则数列{bn}为首项是，公差是的等差数列，因而，代入②式中得。故所求的通项公式是二、构造等比数列法1.

2、定义构造法利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方法。4　　　　　　www.ehappystudy.com　　　　快乐学习，尽在苏州中学网校例2.设在数列{an}中，，求{an}的通项公式。解：将原递推式变形为①②①/②得：，即③设④③式可化为，则数列{bn}是以b1＝为首项，公比为2的等比数列，于是，代入④式得：＝，解得为所求。2.（A、B为常数）型递推式可构造为形如的等比数列。例3.已知数列，其中，求通项公式。解：原递推式可化为：，则数列是以为首项，公比为34　　　　　　www.ehappystu

3、dy.com　　　　快乐学习，尽在苏州中学网校的等比数列，于是，故。3.（A、B、C为常数，下同）型递推式可构造为形如的等比数列。例4.已知数列，其中，且，求通项公式an。解：将原递推变形为，设bn＝。①得②设②式可化为，比较得于是有数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列。所以，即，代入①式中得：为所求。4.型递推式可构造为形如的等比数列。例5.在数列中，，求通项公式。解：原递推式可化为，比较系数可得：，4　　　　　　www.ehappystudy.com　　　　快乐学习，尽在苏州中学网校，上式即为是一个

4、等比数列，首项，公比为。所以。即，故为所求。三、函数构造法对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法。例6.在数列中，，求通项公式an。分析：首先考虑所给递推式与公式的联系。解：设，则同理，，…。即，猜想。下面用数学归纳法加以证明（证明略）。由于即，解得，于是为所求。4