广义积分被积函数的极限

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1、广义积分被积函数的极限顾敏康01830535（徐州师范大学数学系徐州221116）摘要本文讨论了广义积分的被积函数当时的极限情况，这里我总结出了几个的条件.关键词广义积分;被积函数;极限由文献[1]知无穷积分收敛，则有当时是否成立？反之是否成立？结果答案都是否定的.例如不存在，但收敛，而，但发散.由此可见，这一结果和数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的。广义积分和级数之间有内在的联系，而在这一点上两者不一样，所以一个自然的问题就是广义积分的被积函数在什么样的条件下极限存在且当时为零.引理1若函数在连续，且，则函数在上一致连续.证明已知，即，，，有.已知在上连

2、续,根据一致连续性定理,则在一致连续,即有.于是都有.故函数在上一致连续.引理2若函数在区间满足李普希茨条件，即，有，其中是常数，则在上一致连续.7证明解不等式得取于是则有故函数在上一致连续.引理3若函数在上可导，且有其中为常数，则在上一致连续.证明因为在上可导，对，则在上连续，在内可导，所以从而.由引理2知在上一致连续.定理1在上连续，收敛，则的充分必要条件是在上一致连续.证明由引理1必要性显然.充分性已知在上一致连续，则（不妨设），对，当时，有.又因为收敛，故对上述的，当时有7对使且，于是有，从而==，即.于是时有,所以.例1对定义在上的函数,显然它在上连续,对无穷

3、积分,已知函数在区间连续,,有,所以无穷积分收敛.于是也收敛.又显然,由引理1知在上一致连续.推论1若收敛,在上满足李普希茨条件，则.7证明因为在上满足李普希茨条件，由引理2知在上一致连续.又收敛，由定理1.推论2若收敛，在时可导且存在，使得，则.证明由于函数在上可导，且有（其中为常数）.由引理3知在上一致连续.又由无穷积分收敛，由定理1.定理1不仅告诉我们收敛的广义积分的极限为零的充要条件，而且用它我们可以判定某些函数在无穷区间上不一致连续.如收敛，但，则在上不一致连续.若直接证明在上不一致连续是很困难的.定理2若收敛，且当时，非负单调递减，则证明因为且单调递减，由极

4、限存在定理，当时存在极限，不妨设则由极限的性质有若有使得7由极限的保号性有当时于是此与收敛矛盾，从而即例2对定义在上的函数显然在上是非负单调递减的，由于故收敛，由定理2和定理2对称的有下述结果：推论3若收敛，且存在当时非正单调递增，则.证明方法与过程同上.最后再给出收敛的广义积分被积函数趋于零的一个必要条件.定理3若函数在上有连续的导数，和都收敛，则证明由于有连续的导数，则由收敛知存在，不妨设7若不妨设取则存在，当时，有从而这与收敛矛盾.所以例3对定义在上的函数显然在上有连续的导数，对无穷积分由于所以收敛.同样可以说明也收敛.由定理3知参考文献[1]刘玉链,傅沛仁.数学

5、分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1996:265-266.[2]吕凤,刘玉链.数学分析习题课讲义[M].东北师范大学出版社,1993:142-144.[3]华东师范大学数学系.数学分析（第二版上）[M].北京:高等教育出版社,2001:36-37.TheLimitofTheGeneralizedIntegral’sintegrandGuMinkang01830535（DepartmentofMathematicsXuzhouNormalUnivesity,Xuzhou,221116）AbstractInthispaper,theauthordiscussesthe

6、limitoftheintegrandofgeneralizedintegralwhenthe7variabletendstotheinfinity,andsumsseveralconditionswhichmakethelimitbezeroasvariabletendingtotheinfinity.Keywordsgeneralizedintegral;integrand;limit7