挡土墙极限土压力之模型

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挡土墙极限土压力之模型涂建平1陈清1周三岗2(1江西交通职业技术学院南昌330013)(2新建县心怡广场管理处南昌330100)摘要：为探求挡土墙墙后极限滑裂面的性状及极限土压力计算的新途径，将墙后处于极限平衡状态下的欲滑动土楔体按微元法分析之，据此建立起一种能客观表达挡土墙上极限土压力的泛函模型，该模型辅之以变分法，从而将求解挡土墙上的极限土压力归结为一个变分问题。方法的本身表明求极限土压力与确定墙后土体极限滑裂面的方程在此是相伴进行的。关键词：道路工程；朗肯；库仑；土压力模型；变分问题；极限破裂面。120前言对于挡土墙上的土压力，目前仍普遍沿用着古典的朗肯和库仑解答。我们知道，朗肯和库仑公式均建立在较强的假定条件之上（诸如要求墙背光滑或墙后填土为无粘性土、假定滑动面为平面等），这对于工程上许多并不满足朗肯和库仑条件的土压力问题，在无奈进行了多种简化和近似之后，按其所得的解答通常不是令人满意的，且对极限滑裂面的认识也是模糊的。正因为如此，人们对土压力这一古典课题的研究至今仍然是活跃的。本文亦作为对此的一点探索并有以下基本假定：1、挡土墙是刚性的，墙背为平面且长高比充分大；2、墙后填土是理想的刚塑性土，认为达到极限平衡前土体不发生变形,极限平衡时，墙后填土将沿墙背及土中某一通过墙踵的破裂面滑动。1模型的建立y设挡土墙及墙后填土情况如图1，已知墙后填土容重为；内摩擦角为；粘结力为；墙后填土沿墙背自墙踵起算的高度为；墙背倾角为；墙背与填土间的摩擦角为，在此有。以墙踵为原点建立直角座标系如图示，据此记墙背填土坡面函数为；土中极限破裂面的方程为，显然有边界条件：和。其中Xd为极限破裂面与墙后填土界面的交线D在X轴上的位置坐标。对于长高比充分大的挡土墙土压力问题在力学上被视为平面应变问题，以下的分析亦是按此考虑的。本文主要讨论主动极限平衡的情况，对于被动极限平衡的情况其道理是相同的，文中将直接给出结论。设极限平衡时挡土墙对墙后欲滑动土体的反力(即极限土压力)为；并记该力在墙后欲滑动土楔体中按其原始方向沿的分布为。将图1中区间微分成无限多个微小区间，这样图1中的滑动土体在每一微小区间上是一微宽土条，取单位长度微宽土条的脱离体,不难看出作用于微宽土条上的力如图示。其中为在微宽土条上的增量；为土条所受的重力；为滑线y的切线倾角；和分别为滑线上的切向力和法向力。由力的平衡方程和极限平衡条件可得微宽土条的极限平衡方程为：再由整个欲滑动土楔体的平衡条件∑X=0又有：其中：；整理得：………………………(1)这就是挡土墙的主动土压力模型，与之相应的附加条件为：1、边界条件：2、活动端点处的横截条件：12 同理，挡土墙的被动土压力模型为：……………………………(2)与之相应的附加条件是：①边界条件：②活动端点处的横截条件：以上模型均为泛函，由变分法知极限滑裂面当是以上泛函的极值面，极限土压力则对应着相应泛函的极值。这就把求解极限土压力的问题归结为一个变分问题，由问题的实际意义知其解答是存在的，并且求极限土压力与确定墙后土体的极限滑裂面在此是相伴进行的。3模型的应用以上模型对墙后土体的极限滑裂面及作用于墙背的极限土压力等信息作了较为客观的表达，作为模型的应用，我们先行探讨以下一类在工程中常见的土压力问题：设挡土墙墙背竖直，墙后填土水平且与墙顶平齐，填土自墙踵起算的高度为，已给出填土的容重、内摩擦角、粘结力以及墙背与填土间的摩擦角，试分析该挡土墙所受的极限土压力及土中相应的极限滑裂面。我们看到对这一简单而常见的问题理论上却是朗肯和库仑理论都不便求解的。现按文中所述模型对此进行分析，相应于主动极限平衡的情况，显然,该问题在模型(1)中有和，将其代入模型(1)则有：由F中不显含x并注意到活动端点处的横截条件知该问题的欧拉方程有首次积分就是其中解之得满足题意的解是：解此微分方程得主动极限破裂面所满足的方程是：…(3）其中：若δ≠0、c≠0，将以上y及代入模型（1）得相应的主动土压力为：…(4)其中：…（5）；；；；；同理，由模型(2)可得被动极限滑裂面所满足的方程是：…(6)并且当、时，将以上y代入模型（2）得相应的被动土压力为：…(7)其中：…（8）；其他符号意义同前。特别的，我们来看此类问题在以下两种极端情况下的解答：I、当(对应于光滑墙背)，此时的题给条件就是朗肯条件，将代入模型（1）后由变分法知此时的主动极限滑裂面的方程为：12 再将y代入模型（1）则有：同理，此时被动极限滑裂面的方程为：代入模型（2）则有：代入模型（2）则有：结果表明，在朗肯条件下由模型所得的解答与朗肯解答是一致的，且其极限滑裂面为平面。II、当c=0（无粘性土情况，满足库仑条件），将c=0代入模型（1）后由变分法知此时的主动极限滑裂面的方程为：再将y代入（1）则有：同理，由（6）知此时被动极限滑裂面的方程为：代入（2）得：显然，这与库仑理论对此的解答是一致的。由此可见，朗肯与库仑解答在此仅分别对应于文中模型在朗肯条件和库仑条件下的一个特例。【例】：某挡土墙墙背竖直，墙高h=8(m)，墙后填土水平且与墙顶平齐，已知填土的容重γ=20(kN/m3)；内摩擦角φ=30°；粘结力c=10(kN/m2)；墙背与填土间的摩擦角δ=15°，试求主动土压力。解：直接应用以上成果，按题意算得（4）及（5）式中各有关参数为：则：代入(4)式得：4墙背土压力的分布及合力作用位置的确定现仍按主动土压力的情况讨论之，在模型所在的坐标系下以墙后填土自墙踵沿墙背方向（y轴的方向）的高度h为参变量，这样按前述模型求得的极限土压力当是h的函数，不妨记此土压力函数为E(h)，为求得墙背h深度处的土压力强度，在此给h以增量Δh，相应的土压力函数亦有增量，显然，该位置处的土压力强度为：或记为即墙背h深度处的土压力强度等于相应土压力函数E(h)在该位置的处的导数。为确定墙背土压力合力作用点的位置,现取墙背土压力对墙踵的力矩，这样墙背土压力合力作用点距墙踵的距离yo可按下式确定：就是…………………(9)12 5结语作为本文的结束语，在此指出文中的模型极易推广到复杂填土面（如填土坡面函数须分段表出的场合）及填土成层的场合。在此可按需插入有限个分点(或待定分点)将区间分成k个子区间，以使得在每一子区间上填土坡面函数可用一个式子表示且滑动面仅在单一的土层中。若记；且，则这些场合下的极限土压力模型都具有类似的表达形式，即：对此问题的进一步分析，本文就不赘述了。参考文献：[1]天津大学.土力学与地基[M].北京:人民交通出版社,1980.[2]黄克欧等.高等工程数学[M].北京:中国铁道出版社1982[3]陈景良.近代分析数学概要[M].清华大学出版社,1987.1212