以_赵爽弦图_为模型的中考试题赏析_朱浩

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1、数坛2013年12月命题感悟在线以“赵爽弦图”为模型的中考试题赏析筅江苏省泗阳实验初级中学朱浩%%勾股定理是刻画直角三角形特征的一条重要定理，DE=姨EF2+DF2=姨52+122=13．它的发现、验证、应用蕴含着丰富的文化价值.中国古代所以这个风车的外围周长为4（DB+DE）=4×19=76．的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早点评：本题以“赵爽弦图”为背景，通过适当的变化得就尝试对勾股定理进行了证明.最早对勾股定理进行证到了一个“数学风车”，主要考查学生利用勾股定理求直明的是汉代数学家赵爽，他以“弦图”为基本图形，后人角三角形边长的能力．只要学生熟悉“赵爽弦图”的特征

2、称之为“赵爽弦图”，利用出入相补原理证明了勾股定及图3的由来，就很容易求出EF=5，DB=BF=6．要求DE的理，尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更长，只需要找出DE所在的直角三角形，然后利用勾股定具有科学创新的重大意义.“赵爽弦图”是一种验证勾股理求出DE的长，从而可得到“数学风车”的外围周长．其定理的图形，如图1所示．利用它验证勾股定理的主要思实，利用图3还可以设计出其他数学问题，如求出“数学风想是：利用两种不同的方法计算同一图形的面积，得到车”的面积，求△DBE的面积等．的结果应该相等．在图1中，以弦为边长的正方形是由四例2（2010年广西河池）如图4是用4个全等的

3、直角个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．设直角三三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正角形中较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，斜边长方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角122为c，则每个直角三角形的面积为ab，中间小正方形的三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：①x+y=49，2②x－y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）.2边长为b－a，其面积为（b－a）．然后利用两种不同的方法计A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④212算大正方形的面积可得等式c=4×ab+（b－a），化简后AD2yE即可得到勾股定理．在近

4、几年中考中，以“赵爽弦图”为模HxF型的一类中考试题屡见不鲜．笔者从G近几年全国各地中考试题中选取具有BC图4图5代表性的几例与同行分享，不足之处解析：如图5，因为大正方形的面积为49，小正方形的敬请批评指正．22面积为4，所以AB=49，EF=4．所以AB=7，EF=2．例1（2009年贵州安顺）图2是我图122在Rt△ABE中，由勾股定理知，x+y=49，故①正确.国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的由EF=2知，x－y=2，故②正确.直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC=6，BC=222由（x－y）=4知，2xy+4=x+y=49，故③正确.5，将四个

5、直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长22由③知，4xy=90，又因为（x+y）=（x－y）+4xy，一倍，得到图3所示的“数学风车”，则这个风车的外围周22所以（x+y）=（x－y）+4xy=4+90=94，长（图3中的实线）是______．%BAD所以x+y=姨94，故④不正确．BA综上所述，正确结果为①②③，故选B.CCF点评：本题主要考查的知识点有勾股定理与完全平E方公式，用含有x，y的代数式表示正方形ABCE与正方形图2图3EFGH的面积是解决问题的关键，首先要根据已知得到222解析：如图3所示，由已知易知，DB=BF=6，EF=5．所以x+y=49与（x－y）=4，然后

6、利用完全平方公式即可求出代初中版43数坛在命题感悟2013年12月线数式2xy+4与x+y的值．y例3（2011年浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了B1证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦A1M1A2B2图”（如图6）．图7由“弦图”变化得到的，它是用八个全等QN1M2A3B3B1A44Q2N2的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形P130°P2xOC1C2C3C4EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=图810，则S2的值是______．1%解析：设B（1t1，t1），则t1=－t1+姨3+1，G2CD2%T解得t1=（姨

7、3+1）．KH3FMN1因为正方形A1B1C1O的边长为t1，所以P1C1=t1，P1B1=BA2E%图6图7姨3t1，所以第1个阴影正方形M1Q1P1N1的边长为2解析：如图7，设CG=a，CF=b，%则BF=AE=DH=a，BE=AH=DG=b．姨3－1222t1=．所以第一个阴影正方形的面积为姨姨．%23322由此易知，EF=FG=GH=HE=姨a+b，设正方形A2B2C2C1的边长为t2，则B（2t1+t2，t2），则t2=MN=NK=KT=MT=