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《9 几个算符的本征值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第九讲（2学时）一、授课题目：动量算符、角动量算符二、教学目的及要求：熟悉动量算符的厄米性及其条件，动量算符本征值和本征函数的不同选择，角动量算符的本征值和本征函数三、教学重点与难点：动量算符的厄米性条件和本征函数归一化，角动量算符的本征值和本征函数四、教学过程1、动量算符�在量子力学中，动量算符为pˆ=−iℏ∇∂∂∂在直角坐标系下的三个分量为pˆ=−iℏ；pˆ=−iℏ；pˆ=−iℏxyz∂x∂y∂z���动量算符的本征值方程−iℏ∇ψ(r)=pψ(r)pp∂��其分量形式为−iℏψ(r)=pψ(r
2、)pxp∂x∂��−iℏψ(r)=pψ(r)pyp∂y∂��−iℏψ(r)=pψ(r)pzp∂z�用分离变量的形式求解，设ψ(r)=φ(x)φ(y)φ(z)，则方程的解为p�i��ψ(r)=Cexp(p•r)pℏ正是自由粒子的deBroglie波。由归一化条件得常数为∞∞∞∞∗2i'i'i'∫ψp'ψpdτ=C∫exp[(px−px)x]dx∫exp[(py−py)y]dy∫exp[(pz−pz)z]dzℏℏℏ−∞−∞−∞−∞23'''=C(2πℏ)δ(px−px)δ(py−py)δ(pz−pz)2
3、3��'=C(2πℏ)δ(p−p)1取C=，则波函数可以归一化为一个δ函数。3/2(2πℏ)1�13/2i��所以动量算符的本征函数为ψ(r)=()exp(p•r)p2πℏℏ动量算符的本征函数之所以不能归一，而是一个δ函数，是因为动量算符的本征值可以取任意的实数，本征值组成连续谱的原因。任何连续谱的算符的本征函数都只能归一为一个δ函数。箱归一化本征函数在一些具体的问题中，粒子在有限的范围内运动，我们如果加上适当的边界条件，则可以是动量的本征值取分立的不连续的值，而且波函数也可以归一化。这种情形叫箱归
4、一化。设粒子被限制在一个边长为L的箱子里，取箱的中心为坐标原点。波函数满足周期性边界LLLL条件，即在点(,y,z)和(−,y,z)处波函数值相同，同理在(x,,z)和(x,−,z)处波函数2222LL值相同，在(x,y,)和(x,y,−)处波函数值相同。我们可以从平面波出发来确定波函数和本22征值，也可以从本征方程出发来确定波函数和本征值。∂ψi实际上，本征值方程为−iℏ=pψ解得ψ(x)=Cexp(px)xx∂xℏLLiLiL由ψ()=ψ(−)得Cexp(p)=Cexp(−p)xx22ℏ2ℏ2i
5、1所以exp(pL)=1即pL=2nπxxxℏℏ2nxπℏ2nyπℏ2nzπℏ本征值为p=同理，有p=，p=xyzLLL这里常数n,n,n=0,±1,±2,⋯⋯为整数。xyz�i2πℏ这时，本征波函数为ψ(r)=Cexp[(nx+ny+nz)]。由归一化条件得xyzℏLLLL2222223∫∫∫C
6、ψ
7、dxdydz=CL=1LLL−−−2221所以归一化常数C=3/2L1i2π这样归一化的波函数为ψ=exp[(nx+ny+nz)]3/2yzLL2nxπℏ2nyπℏ2nzπℏ讨论：由p=，p=，p=，
8、可以看出，相邻两本征值的间隔xyzLLL2πℏ∆p=与L成反比。当L选的足够大时，本征值间隔可任意小，当L→∞时，本征值变成L为连续谱。2从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为δ函数。�iψ(r)exp(−Et)就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该pℏ确定值就是动量算符在这个态中的本征值。周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。2、角动量算符（1）角动量算符的表达式���角动量算符的定义为Lˆ=rˆ×pˆ=r×(−iℏ∇)∂∂它的三个分量为Lˆ=ypˆ−zpˆ
9、=−iℏ(y−z)xzy∂z∂y∂∂Lˆ=zpˆ−xpˆ=−iℏ(z−x)yxz∂x∂z∂∂Lˆ=xpˆ−ypˆ=−iℏ(x−y)zyx∂y∂x在量子力学中，我们经常要用到角动量平方算符。其定义为ˆ2ˆ2ˆ2ˆ2L=Lx+L+Lyz它在直角坐标系中的表达式为22∂∂2∂∂2∂∂2Lˆ=−ℏ[(y−z)+(z−x)+(x−y)]∂z∂y∂x∂z∂y∂x由于这个表达式中含有关于坐标x,y,z的偏导数的交叉项，因此在求解本征值方程时，无法用分离变量法，为此，我们引入球坐标系下的表达式，它在许多情形下是比较
10、方便的。球坐标和直角坐标的关系：2222⎧x=rsinθcosφ⎧r=x+y+z(1)⎪⎪⎨y=rsinθsinφ…⎨cosθ=z/r(2)⎪⎪⎩z=rcosθ⎩tanφ=y/x(3)∂r∂r∂r则=sinθcosφ=sinθsinφ=cosθ∂x∂y∂z∂θ1∂θ1∂θ1=cosθcosφ=cosθsinφ=−sinθ∂xr∂yr∂zr∂φ1sinφ∂φ1cosφ∂φ=−==0∂xrsinθ∂yrsinθ∂z3∂∂r∂∂θ∂∂φ∂∂1∂sinφ∂所以。有=++=si
