1.3 标量场的梯度

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1、1.3标量场的梯度对于一个标量场除了了解标量场u的总体分布情况，还要讨论其等值面随空间的变化。一、方向导数1.方向导数的定义等值面沿某一给定方向l0的变化率，称为该标量场沿l0方向的方向导数。例：温度场0C10CL320CL1100米L2200米30C80米21:38:2410C10CL1100米L320CL2200米30C80米L1：（每米的温度变化为）同一个温度场中，其等温面（0C--30C）/100m=-3/10C/m沿不同方向的变化率不同：L2：（每米的温度变化为）L1的方向导数为-3/10（0C--30C）/200m=-3/20C/

2、mL2的方向导数为-3/20L3的方向导数为-3/8L3：（每米的温度变化为）21:38:24（0C--30C）/80m=-3/8C/m21.3标量场的梯度若M0为标量场u(M)中的一点，标ur()l量场u(M)在点M0处沿l方向的方向导数M为M0uuM()uM(0)llimlll0M0方向导数的物理意义u

3、是标量场uM()在点M处沿l方向对距离的变化率M0l0u1)

4、>0，标量场u在点M沿l方向是增加的；M0l0u2)

5、<0，标量场u在点M沿l方向是减小的；M0l0u3)

6、=0，标量场u在点M沿l方向无变化。M0l021:38:2

7、43方向导数与选取的考察方向有关。1.3标量场的梯度2.方向导数的计算公式设一个标量函数u(x,y,z)，若函数u在点P可微，则u在点P沿任意方向l的方向导数为uuxuyuzlxlylzl设l方向的方向余弦是cos,cos,cos，即xyzcoscoscoslll则方向导数的计算公式为uuuucoscoscos21:38:24lxyz41.31.3标量场的梯度标量场的梯度二、标量场的梯度标量场在什么方向上变化率最大？其最大的变化率是多少？梯度1.梯度的概念标量场u沿指定方向的变

8、化率就是标量场在该方向的方向导数uuuucoscoscoslxyzuuu(exeyez)(cosexcoseycosez)xyz21:38:24?el51.3标量场的梯度uuuu(exeyez)(cosexcoseycosez)lxyz哈密顿算符既具有矢量性质，()exeyez又具有微分性质xyz矢量——服从矢量运算的规则;算子——代表一种微分运算，服从微分运算规则;1)▽本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量函数时才代表一种运算。uAA2

9、1:38:252）只对它后边的量起运算作用。不能随便交换▽的位置。6uuuu(exeyez)(cosexcoseycosez)lxyz()eeexyzxyzuuu标量场u的梯度，uexeyezxyz用gradu表示ugraduu

10、el

11、1ugraduel

12、gradue

13、

14、l

15、cos

16、gradu

17、cosll梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。dugraduuemaxldl7式中：e是场量u变化率最

18、大的方向上的单位矢量。l梯度的性质标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向等温线分布标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影uuu直角坐标系中graduuexeyez（记住）xyzu1uu柱坐标系中graduueeezzu11uu球坐标系中graduueree21:38:25rrrsin81.3标量场的梯度2.梯度的基本运算公式1)CC0(为常数)2)(Cu)Cu3)(uv

19、)uv4)()uvuvvu5)Fu()Fu()uu16)()(vuuv)2vvFF7)Fuv(,)uvuv式中：C为常数；uv,为坐标变量函数；3.梯度的重要性质21:38:25u091.31.3标量场的梯度标量场的梯度例1三维高度场的梯度21:38:2510高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。21:38:25111.3标量场的梯度例2电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；21:38