《标量场及其梯度》PPT课件

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1、物理场及其分析物理场的定义与表示：几何表示：等值面、矢量线代数表示：基于坐标系的函数表示形式场的研究角度：几何方法与代数方法微分方法与积分方法基于算子的简洁表示1、标量场定义及图示对于区域V内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定的数值或标量函数ƒ(r)与之对应，我们就称这个标量函数ƒ(r)是定义于V内的标量场。orf(r)V标量场有两种：与时间无关的恒稳标量场，用ƒ(r)表示；与时间有关的时变标量场，用ƒ(r,t)表示。§1.2标量场及其梯度等值线形象描绘场分布的工具--场线标量场--等值线(面)。其方程为2、梯度点位移

2、导致ƒ的改变(x,y,z)(x+dx,y+dy,z+dz)ƒ+dƒƒdlyzxo线元矢量：(1)梯度的导出右图中，由点到邻近的点的微分位移将导致场函数有一微分增量因此标量场的相应微增量则为：标量场在点的梯度(gradient)定义为：(2)方向导数与梯度的关系偏导数、、分别叫做ƒ在x、y、z方向上的方向导数，用梯度表示为推广到ƒ(x,y,z)在某点沿任意矢量l方向的方向导数，则应表为式中，el是l的单位矢量。（3）梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标的函数；梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相

3、垂直的方向，它指向函数的增加方向.梯度的大小为该点标量函数f的最大变化率，即该点最大方向导数；例1电位场的梯度与过该点的等位线垂直；指向电位减少的方向。数值等于该点的最大方向导数；电位场的梯度（4）哈密顿算子（读作del或nabla）直角坐标系中的具体形式为使用算符时注意几点：单独存在没有任何意义；算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，即，。在不同坐标系中，算符有不同的表达形式。（5）梯度的基本运算公式（c为常数）（6）梯度运算的几个基本关系式相对坐标标量函数f(rr)证明：在直

4、角坐标系中f(rr)=f(xx，yy，zz)令xx=X，yy=Y，zz=Z，应用复合函数求导法则可得即有上式重写为等式若成立，则应有同理可得证毕。相对位置矢量R=rr的模R=rr在直角坐标中则同理有于是根据算符的微分特性可得（R0）例2求f=4e2xy+z在点P1（1，1，1）处的由该点指向P2（3，5，6）方向上的方向导数。解：于是，f在P1处沿R12方向上的方向导数为：例3应用标量场的梯度与该标量场的等值面处处正交的概念，求两曲面x2+y2+z2=9和x2+y2=z+3在

5、P(2,-1,2)处相交的锐角。S1S2f1(2,-1,2)f2(2,-1,2)解：将这两个曲面分别看作是两个标量场的等值面，对应的两个标量场函数为：f1=x2+y2+z2f2=x2+y2-z求P点处的梯度P