关于牛顿迭代法的课程设计实验指导

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1、关于牛顿迭代法的课程设计实验指导非线性方程（或方程组）问题可以描述为求x使得f(x)=0。在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。一、牛顿迭代法及其收敛速度牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphsonmethod），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。方法的基

2、本思路是利用一个根的猜测值x0做初始近似值，使用函数f(x)在x0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f(x)的近似表达式。由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程f(x)=0中的f(x)求得近似解yxOx*x1x0x1。即将方程f(x)=0在x0处局部线性化计算出近似解x1，重复这一过程，将方程f(x)=0在x1处局部线性化计算出x2，求得近似解x2，……。详细叙述如下：假设方程的解x*在x0附近（x0是方程解x*的近似），函数f(x)在点x0处的局部线化表达式为由此得一次方程图1牛顿迭代法示意图求解，得如图1所示，x1比x0更接近于x*。该方法的几何意义是：用曲线

3、上某点（x0，y0）的切线代替曲线，以该切线与x轴的交点（x1，0）作为曲线与x轴的交点（x*，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。设xn是方程解x*的近似，迭代格式(n=0，1，2，……)就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。牛顿迭代法的最大优点是收敛速度快，具有二阶收敛。以著名的平方根算法为例，说明二阶收敛速度的意义。例1．已知，求等价于求方程f(x)=x2–2=0的解。由于。应用牛顿迭代法，得迭代计算格式，（n=0，1，2，……）取x0=1.4为初值，迭代计算3次的数据列表如下表1牛顿迭代法数值实验迭代次数近似值15位有效数误差01.41.4

4、1421356237310-1.42e-00211.414285714285711.414213562373107.21e-00521.414213564213561.414213562373101.84e-00931.414213562373091.41421356237310-2.22e-016其中，第三栏15位有效数是利用MATLAB的命令sqrt(2)计算结果。观察表中数据，第一次迭代数据准确到小数点后四位，第二次迭代数据准确到小数点后八位，……。二阶收敛速度可解释为，每迭代一次，近似值的有效数位以二倍速度递增。对于计算任意正数C的平方根，牛顿迭代法计算同样具有快速

5、逼近的性质。二、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法在使用受条件限制，这个限制就是通常所说的牛顿迭代法的局部收敛性。定理假设f(x)在x*的某邻域内具有连续的二阶导数，且设f(x*)=0，，则对充分靠近x*的初始值x0，牛顿迭代法产生的序列{xn}收敛于x*。下面例子是牛顿迭代法不收敛的反例。反例说明，牛顿迭代法局部收敛性要求初始点要取得合适，否则导致错误结果。例2用牛顿迭代法解方程f(x)=x3–x–3=0。分析：利用MATLAB求多项式零点命令roots(p)，计算得三次方程的三个根如下表表2三次方程的三个根r1r2r31.6717-0.8358-1.0469i-0.8358+

6、1.0469i显然，三次方程有一个实根r1。为了使用牛顿迭代法计算，对于f(x)=x3–x–3，首先求导数，得。取x0=0和x0=1取分别用牛顿迭代法计算，得表3不同初始值的迭代计算结果x001x1-3.00002.5000x2-1.96151.9296x3-1.14721.7079x4-0.00661.6726x5-3.00041.6717x6-1.96181.6717………………对于迭代初值取x0=0，迭代数列中的第四项又回到初始点x0=0附近，算法将陷入死循环。图2牛顿迭代法初值不收敛示意图而迭代初值取x0=1，可以使牛顿迭代法得到收敛。三、特殊代数方程的牛顿迭代法收

7、敛区域将牛顿迭代法用于求解高阶代数方程时，首先回顾一个代数基本定理，即“一个n阶多项式在复数域内有n个根”。根据牛顿迭代法的局部收敛性质，任意取一个数据做为牛顿迭代的初值，可能导致迭代不收敛，即使这一个初值可以使迭代法收敛，下一个有趣的问题是“迭代序列将收敛于哪一个根”，其规律如何？例3牛顿迭代法的收敛区域问题：Newton迭代法可以用于求解复数方程z3–1=0，该方程在复平面上三个根分别是，，选择中心位于坐标原点，边长为4的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，将不收敛的点定义为第一类，给它们标一种颜色；再把收敛到