中值定理与导数的应用20728

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1、高等数学教案§3中值定理与导数的应用第三章中值定理与导数的应用§3.1中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意xÎU(x0),有f(x)£f(x0)(或f(x)³f(x0)),那么f¢(x0)=0.罗尔定理如果函数满足：（1）在闭区间上连续,（2）在开区间内可导,（3）在区间端点处的函数值相等，即,那么在内至少在一点,使得函数在该点的导数等于零，即.例:设函数在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，，证明：在(0,1)内存在，使得

2、．【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：【证明】令，则在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且　　　　,由罗尔中值定理知，存在，使得．即例：设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：存在，使得【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令，则问题转化为证明,只需对20高等数学教案§3中值定理与导数的应用用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同

3、时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点，使得，则在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数，由题设有F(a)=F(b)=0.又f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大值,不妨设存在,使得，若，令,则若，因，从而存在，使在区间上分别利用罗尔定理知，存在，使得.再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有，即二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续,（2）在开区间内可导,那么在内至少有一点,使得等式例:.证明当

4、x>0时,.证设f(x)=ln(1+x),显然f(x)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件,根据定理,就有f(x)-f(0)=f¢(x)(x-0),0

5、介值性，存在，使得。（2）由拉格朗日中值定理，存在使得定理如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数.例:求证.证设，当时有20高等数学教案§3中值定理与导数的应用由推论1，在区间内为一常数C，即下面确定常数C的值，不妨取，得所以当时，对于时，等式显然成立，故命题得证.三、柯西中值定理柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F¢(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在(a,b)内至少有一点x,使等式.成立.显

6、然,如果取F(x)=x,那么F(b)-F(a)=b-a,F¢(x)=1,因而柯西中值公式就可以写成:f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a)(a

7、分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（ospital）法则.例:计算极限．解:由洛必达法则，得注:若仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即．例:　计算极限．解．例:求极限解例(真题)求极限20高等数学教案§3中值定理与导数的应用【解析】二、型未定式定理2设函数、满足下列条件：（1），；（2）与在的某一去心邻域内可导，且；（3）存在（或为无穷大），则注：上述关于时未定式型的洛必达法则，对于时未定式型同样适用例:计算极限．解所求问题是型未定式，连续次施行洛必达法则，有．在

8、使用洛必塔法则时应注意以下几点：①洛必塔法则只适用于型或型的极限.②如果仍是型或型,则可继续使用洛必塔法则.③如果不存在且不是,并不表明不存在,只表明洛必塔法则失效,这时应用其他方法求解,即洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．20高等数学教案§3中值定理与导数的应用例:三、其它类型极限求法除型与型的未定式之外，还有，，，等未定式，对这类未定式求极限，通常是利用代数恒等变形转化为或型，然后用洛必达法则进行计算.例:求.解这是型，因此.例:求解这是型，因此