中值定理与导数应用

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1、第四章中值定理与导数应用4.1微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理1.费马引理2.罗尔（Rolle）定理几何解释:注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:证明作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理注意：函数在点的微分是表示函数在点的增量的近似值。——证明恒等式的一般方法弦AB的一般方程为弦AB的参数方程为在参数方程下，弦AB的斜率为

2、三、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证：在(0,x)之间，在之间，.....................................................在(0,x)之间，因此，从而有小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件

3、.费马(1601–1665)费马法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:历经358年,直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决.引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积

4、分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,备用题求证存在使1.设可导，且在连续，证:设辅助函数因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即使得设证明对任意有证：2.不妨设