一元函数微分学教案

《一元函数微分学教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第二章　一元函数微分学一、导数（一）、导数概念1、导数的定义：　　设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应的改变量，，如果当时，的极限存在，即存在，则此极限值为函数在点的导数，可记作或或或2、根据定义求导数的步骤（即三步曲）①求改变量②算比值③取极限　例1：根据定义求在点处的导数。解：　　　3、导数定义的几种不同表达形式①　②　　③　4、左右导数的定义：如果当时，的极限存在，则称此极限为在点为右导数（左导数），记为［］　　　　5、函数在点处可导的充要条件：　在点的左、右导数都存在且相等　即存在＝　【或存在】6、函数的可导性与连续性的关系：如果函数在点处

2、可导，则在点处必连续，反之不一定成立。即　例如：在处连续，但不可导。　　解：　连续又　　　不存在　7、导数与导函数之间的区别，联系是什么？　①区别：是数值，；是函数是任意一点）；②联系：　注：导函数简称导数8、导数的物理意义和几何意义？①物理意义：瞬时变化率因变量相对自变量的瞬时变化率②几何意义：曲线在点处切线的斜率。此时曲线过点处的切线方程：　法线方程：　　　　　例2、根据定义求的导数解：　　因此　或　同理可推导：　　例3、根据定义求的导数　因此　同理可推导　例4、根据定义求的导数　例5、求正弦曲线在时的切线方程和法线方程。　　解：　当时，　　切线方程：　　即　法线方程：　　即：

3、12　小结如何验证在处的可导性：⑴、用定义的三种表达形式之一；⑵、也可以用左导数，右导数是否存在并且相等；⑶、下列三种情况之一，函数在处肯定不可导：①、函数在处不连续；②、函数在处左导数和右导数至少有一个不存在；③、函数在处左、右导数都存在，但不相等。（二）、导数的基本公式与运算法则1、导数的四则运算⑴、例5、解：⑵、当时，例6、解：例7、解：即：⑶、　　例8、解：即：同理可推得例9、解：类似可得：2、导数的基本公式1、　　　　　　　　　　　　2、　3、　4、　5、　6、　7、　　　　　　　　　8、　9、　　　　　　　　10、　11、　　　　　　12、　13、　　　　　　14、　1

4、5、　　　　　　　16、　（三）、求导方法1、复合函数求法设函数、且在点x处可导，在对应点u处可导，则复合函数在点处可导，且或写成或写成例10、解：函数的复合形式、例11、解：函数的复合形式、、2、分段函数的求导法　　设分段函数求其导数的步骤①按导数公式分别求、②判定在分段点处的连续性，若在分段点不连续，则在点不可导，如果在点处连续，则继续讨论。③求分段点的左（右）导数、，如果，则在点处可导。例12、设，试讨论在处的连续性与可导性。解：由于所以有因此，函数在点处连续又由于　函数在处不可导。例13、求在处导数。解：即：1例14、设为使在处连续且可导，问应取何值。解：在处连续，则有，即

5、又在处可导，则有　　，例15、若的一阶导数存在，且，试求解：3、隐函数的求导法①、方程两端对自变量求导②从求导结果中解出例16、解：　　　（隐函数求导）或例17、解：　4、对数求导法：例18、求的导数解：例19、求的导数解：或5、参数方程的求导法设参数方程，则例20、已知圆的参数方程为：，求解：例21、设参数方程为：，求解：综合举例：例22、已知求解：例23、确定是的函数，求解：　　　5、高阶导数如果函数的导数存在，则这个导数叫做原来函数的二阶导数，记作，，用极限来描述或如果函数的导数存在，则这个导数叫做原来函数的三阶导数，记作用极限来描述或如果函数的导数存在，则这个导数叫做原来函

6、数的n阶导数，记作通常把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数，四阶以上用数字表示。求高阶导数只要反复地用求一阶导数的方法。例25、求的n阶导数。解：　　　例26、求的n阶导数。解：　　　　即：例27、设求及解：同理可推得例28、设求解：例29、求的n阶导数。解：二、微分1、微分的定义　　设函数在点处可导，是自变量的改变量，称为函数在点处关于的微分，记为=或=。例1、在，，时的增量及微分。解：当，时当，时当很小时，更小（即比更高阶的无穷小）即当时，与是等价无穷小（）求自变量的微分（即求的微分）因此，函数的微分可以写成：1、分的几何意义当是曲线上割线纵坐标的增量时，是对切线的纵坐标增量。3

7、、微分与导数的关系在点可微在点可导，且即所以导数又叫微商。4、微分公式设则即　所以微分同理……5、一阶微分形式的不变性　　设无论是自变量还是中间变量，其一阶微分都具有形式当是中间变量时，例2、设，求解：或即：例3、设，求解：例4、设，求解：　　　　　即：6、微分在近似计算中的应用　　　　①令　，即　　　　　　　　②例5、利用微分求的近似值。解：令，，例6、利用微分求的近似值。解：令，，例7、利用微分求的近似值。解：令，，例8、利用微分求的近似值。解：令，，例9、利用微