[理学]二、 一元函数微分学

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1、二、一元函数微分学§2．1导数与微分A内容要点(一)．导数与微分概念1．导数的定义设函数在点的某邻域内有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量。如果极限存在，则称此极限值为函数在处的导数（也称微商）记作，或，，等。并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。导数定义的另一等价形式，令，，则我们也引进单侧导数概念。右导数：左导数：则有在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。2．导数的几何意义与物理意义如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。切线方程：法线方程：设物

2、体作直线运动时，路程与时间的函数关系为，如果存在，则表示物体在时刻时的瞬时速度。3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导。例如，，在处连续，却不可导。4．微分的定义设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式其中为与无关，是时比高阶的无穷小。则称在处可微，并把中的主要线性部分称为在处的微分，记以或我们定义自变量的微分就是。5．微分的几何意义是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量

3、（见图）。6．可微与可导的关系在处可微在处可导。且一般地，则所以导数也称为微商，就是微分之商的含义。7．高阶导数的概念如果函数的导数在点处仍是可导的，则把在点处的导数称为在点处的二阶导数，记以，或，或等，也称在点处二阶可导。如果的阶导数的导数，称为的阶导数记以，，等，这时也称是阶可导。(二)．导数与微分计算1．导数与微分表（实常数）（实常数）2．四则运算法则3．复合函数运算法则设，，如果在处可导，在对应点处可导，则复合函数在处可导，且有对应地由于公式不管是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变

4、性。4．由参数方程确定函数的运算法则设，确定函数，其中，存在，且，则二阶导数5．反函数求导法则设的反函数，两者皆可导，且则二阶导数6．隐函数运算法则设是由方程所确定，求的方法如下：把两边的各项对求导，把看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出的表达式（允许出现变量）例：，，7．对数求导法则先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数。对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数关于幂指函数常用的一种方法这样就可以直接用复合函数运算法则进行。关于分段函数求分段点处

5、的导数，常常要先讨论它的左、右两侧的导数。B典型例题(一)．用导数定义求导数例1．设，其中在点处连续，求。解：没有假设可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义例2．设（为正整数），求例3．设，在内有定义，且满足，，，，，其中为常数，求。(二)．分段函数在分段点处可导性例1．讨论函数在处的连续性与可导性。解：函数在处连续，因为，则但是，在处没有导数，因为曲线在原点的切线不存在。（见上图）例2．讨论函数在点处的连续性与可导性。例3．设函数试确定、的值，使在点处可导。例4．设问和为何值时，可导，且求

6、。例5．设，在内求。例6．设，求。(三)．用各种运算法则求导数1．运用四则运算和复合函数求导法则例1．求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；解：（1）（2）（3）。例2．求下列函数的微分（1）；（2）；（3）。例3．设，求例4．设可导，，求例5．设可微，，求例6．设可微，，求2．运用隐函数求导法则例1．设由方程所确定，求和解：对方程两边关于求导，看作的函数，按中间变量处理于是，3．运用对数求导法则例1．求的导数解：对求导，得因此，例2．设，求例3．设由方程所确定，求4．运用参数方程求导法则例1．设，

7、求例2．设，求例3．设可导，连续，，求(四)．高阶导数1．求二阶导数例1．设求例2．设求例3．设由方程所确定，求解：，2．求阶导数（，正整数）先求出总结出规律性，然后写出，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的阶导数公式（1）（2）（3）（4）(5)两个函数乘积的阶导数有莱布尼兹公式其中，，假设和都是阶可导。例1．设（正整数）求（正整数）解：例2．设，求（正整数）例3．设求（正整数）例4．设求（正整数）§2．2微分中值定理本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理

8、和泰勒定理（泰勒公式）[注：数学三不考泰勒定理，数学四不考柯西中值定理和泰勒定理]这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。A内容要点（一）．罗尔定理设函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）则存在，使得几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线；[包括点和点]条件（2）说明曲线在之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于轴的切线[不包括点和点]条件（3）说明曲线在端点和处纵坐标相等。