数学建模在象棋中的应用研究

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1、数学建模在象棋中的应用研究06级数学与应用数学本科班余勋阶指导教师：简国明副教授1引言象棋斗争是古代战争的缩影.象棋融竞技性、趣味性、文化性、艺术性和科学性于一体.在此我重点论述的是其科学性.没有数学就没有科学.也许你会问“数学和象棋有关系吗？可能用数学来解决象棋问题吗？”我的回答是肯定的，象棋与数学有着密切的关系，甚至可以说象棋就是数学的一个分支，只是目前没有完善这一方面的研究.这令我对这一论题的研究增添了动力，意识到这是件非常有意义的事.象棋在宋朝就以定型.有帅（将），车，马，炮，兵，相（象），仕（士）七

2、个兵种共32子，在9路10横的棋盘上移动.千百年来走法上从未有过变动，其形式的稳定性，积累了大量的象棋研究成果.1632年，明朝朱晋祯的棋艺巨著《桔中秘》成书.概括了由宋到明的象棋艺术成就.是用艺术方法较系统地研究掌握中国象棋基本艺术规律，以后用“集谱”手段艺术性地研究象棋，企图接近“象棋内在固有变化规律”的艺术方法，不断发展完善，直到今天，已是积谱如山，造就了一代又一代的“象棋艺术大师”.这种艺术性地研究象棋的方法有一些缺陷，仅仅是从实战中总结经验，就象棋论象棋，并没有揭示象棋的本质规律.要想真正揭开象棋的

3、神秘面纱，唯有数学.如何将象棋中的基本元素抽象成数学元素和符号，再合理地建立数学模型是研究的关键任务.1912年，数学家策墨洛（E.zermele）在第五届国际数学会议上发表了《关于集合论在象棋博弈理论中的应用》的著名论文，在这篇文章里，确定了，对象棋对策来说，以下三种着法必定存在一种[1]:1.不依赖于黑方如何行动，白方总取胜的着法.2.不依赖于白方如何行动，黑方总取胜的着法.3.一方总能达到和局的着法.第一次把数学与象棋联系起来，并被公认为用数学方法研究对策现象的第一篇文章.作为学数学的学子，很希望能够将

4、所学知识应用到生活当中.选择了自己最喜欢的象棋为题做毕业论文，尽我所能，为象棋这一国粹出一份力.虽然知道这是件很难的事，但还是想试一试.第17页共17页2象棋博弈过程建模[2]人工智能的先驱者们曾认真地表明：如果能够掌握下棋的本质，也许就掌握了人类智能行为的核心；那些能够存在于下棋活动中的重大原则，或许就存在于其它任何需要人类智能的活动中.在各种棋牌博弈当中，象棋是一种完全知识博弈(Gamesofcompleteinformation)，即参与双方在任何时候都完全清楚每一个棋子是否存在，位于何处.象棋博弈具有

5、如下基本特征：(1)规则简单明确，成功与失败的判定标准简单，不包含任何机会或偶然性；(2)问题的状态(即局面)数量在数学意义上是有限的；(3)问题的解决在认识意义上不需要过多的知识.为了深入探讨机器博弈的原理与方法学问题，尤其要从系统论和博弈论的角度研究问题的规律与求解方法，有必要分析象棋对弈的演化过程，建立相应的数学模型.图1给出了象棋博弈状态演化过程图.图中表明棋局状态是在着法算子作用下进行演化的，其对应的状态转移方程可以写成(1)式中为象棋的初始局面，为第n+1步的着法算子，而为走完第n+1步后的棋局.

6、于是，不难写出(2)式中为终局，或红胜，或黑胜，或和棋.显然，着法序列便是记载博弈过程的棋谱.其中奇数项序列为红方系列着法，而偶数项序列便是黑方的系列着法.图1象棋博弈状态演化过程图第17页共17页着法便是局中人的决策.尽管每次只能走出一步，但局中人可能考虑过全部有价值的走法，并且通过前瞻若干步，才形成弈棋者的当前决策.在这里全部可能的走法是根据状态演化方程(1)所形成的，这便是决策树，亦称为博弈树的展开过程.弈棋者按照这样的思维方式，必然展开一棵规模庞大的、根在上而叶在下的博弈树，如图2所示.它与一般决策树

7、的不同点则在于它的决策主体不是一方，而是相互对立的双方，即红方和黑方.图中方节点代表轮到红方走棋的状态（棋局），圆节点代表轮到黑方走棋的状态.显然，方、圆节点间的连线便对应于一个个着法.如果说，一个优秀棋手可以前瞻四步，则表示在他的脑海中的是将这棵博弈树展开4层(Depth).博弈树上的每一个节点都代表一个棋局，棋手就是要在众多的叶子节点上挑选一个最佳的局面作为自己的选择，从而反推到当前的着法.图2红方走棋时展开深度为4的博弈树如此说来，下象棋其实是件很简单的事，只要我们知道这颗完全博弈树的话，我们只需要找到

8、当前局面对应的叶子节点，再选择一条对自己最有利的结局的棋路（在数学对策论中称为一个策略组）.但问题是我们目前还不清楚中国象棋完全博弈树.中国象棋博弈树的庞大是可以想象的.如果按照每一步平均有45种可行着法，每局棋平均走90步，那从开始局面展开到分出胜负，则要考虑种局面.远远多于已知宇宙世界的原子总数目(大约次方)！即使用世界上最快的计算机进行计算，直到地球毁灭也无法算出第一步的着法.3象棋理论研究如