常微分方程积分因子法的求解

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1、五邑大学本科毕业论文摘要微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然。所以我们必须能够求出它的解。同时，对于恰当微分方程我们有一个通用的求解公式。但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是恰当微分方程。对于这类不是恰当微分方程的一阶常微

2、分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。关键词：微分方程；积分因子；恰当微分方程；一阶微分；一阶微分方程积分因子的求法探讨数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：郑丽丽职称：教授摘要：针对满足某些条件的微分方程，本文将给出几种直接、有效地求积分因子的方法．关键词：一阶微分方程；积分因子TheSolutionofIntegralFactorfortheFirstOrderOrdinaryDifferentialEquationAbstract：Thispaperhasmadeaspecialefforttostudyhowtoqu

3、adrateintegralfactorsdirectlyandefficiently．Whenthedifferentialequationsmeetsomeconditions，therefore，thecommonmethodwecangetfromit．KeyWords：thefirstorderordinarydifferentialequation；integralfactor16五邑大学本科毕业论文０前　言一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，一般的有两种处理方式：一是以变量可分离的方程为基础，通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方

4、程；另外就是以全微分方程为基础，采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求．这里我们讨论了积分因子存在的充要条件，给出了确定若干特殊类型的积分因子的求法．1　积分因子的定义若对于一阶微分方程其中，在矩形域内是的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数，使得，为一恰当方程，即存在函数，使．则称为方程的积分因子．通过计算可得，函数为积分因子的充要条件为：，即这是个以为未知数的一阶线性偏微分方程，要想通过解方程来求积分因子通常很困难，但在若干特殊情况下，求积分因子还是容易的，下面总结了几种可以方便求出特殊类型的积分因子的方法．2　积分因子存在的充

5、要条件定理1方程具有形如的积分因子的充要条件为：16五邑大学本科毕业论文．证明因为有积分因子的充要条件为．令，则有，即．并由此得出其积分因子为．根据这个定理可以得出以下特殊类型的积分因子的充要条件．2.1具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为，这里仅为的函数．于是积分因子为．例1　求的积分因子．解因为，，且，，则，于是积分因子为．2.2具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为16五邑大学本科毕业论文，这里仅为的函数．于是积分因子为．例2　求的积分因子．解因为，，且，于是积分因子为．2.3具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为．例3　求方

6、程的积分因子．解因为，，且，只与有关，于是有积分因子．2.4具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为．例4求方程的积分因子．解因为，，且，16五邑大学本科毕业论文于是积分因子为．推广方程具有特殊因子的充要条件是：．2.5具有形式的积分因子方程具有特殊因子的充要条件为．由此又可分为二种类型：方程具有特殊因子的充要条件为;方程具有特殊因子的充要条件为．例5求方程的积分因子．解　设积分因子为，于是有，或写成．上式对任意和都满足时，必须有，，解之得，．于是有积分因子．注此种类型中，的确定可用待定系数法．以上所讨论的是微分方程16五邑大学本科毕业论文具有特殊因子

7、的求法．而有些方程具有特殊结构，我们可根据其特殊结构求出其积分因子．3　特殊结构方程的积分因子定理2方程有积分因子：．定理3如果，而和皆为次齐次函数，则方程有积分因子：．4分组求积分因子法对于一些复杂的方程，往往不容易直接求出它们的积分因子，这是可以把它的左边分组，分别求出各组的积分因子，然后再求总的式子的积分因子．例如分成两组：　　可分别求出各组的积分因子和，也就是如果有，使：，．于是借助，常可求得得积分因子．定理4　如果是的一个积分因子，且，则也是的积分因子．此处是的任一连续函数．而，其中是的一个原函数．据此知，对任意的函数，，及都分别是的第一组和第二组

8、的积分因子．函数、有着广泛选择的可能性，若能选择、使