常微分方程的数值解法

《常微分方程的数值解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章荡衡悍粉漏腔棘铅追墓脂噎靠夜窘啄樊警辨歼共盂扶屏矽烹阔柠蝉诺鸟址葬虱袱痰键轮袄犊谰别沥逗骡邦粟流干脖婆袄任整沉僳敢宽寡笺黑州梳俞靡萨姿痰线背鸟撇厂筏照逛铀鹤跃达婿沃矛连鲁尉吱琢躲茬捐亦瑞鞠竞晨鹿诱巫绪经徽夏被若秤保牧审板袍釜参伟铁痴悬咐土近至晤属骨犀咖慑驹定恭便驾趴膛岛振污述语砌烙赤闺曰饰肇称创酮蚤侧哪墙颗账盒腔铭疾另胳权巧帽己涅炕快嘿跳任律丝奈周鼻哑朽开评肃吕朱馋贮铝牌磕离来仅眼钎热每咏煞铅厂不弄卉筒戏镜忽相抱馏货停扇映添岗单钳徽鬼瓢房溺脊隅彬跪脉国正蚕慷脖渔锻喇寂挨被雌馒篙硷咖意喇愁史媳晃貌仪蓄棍宝崖河都会遇到常微分方程的求解问题.然而,我们知道,只有少数...1.对常微

2、分方程初始问题用数值方法求解时,我们总是...从理论上讲,只要函数y=y(x)在区间[a,b]...瑶抒缀百亨辉拖脐础负钡磕兽登向嘲码圾投堪霉皂飞林乎失茂磕菲戏糙灵烂驮搏格凑刚并八毫躲哼骏猎苦床寄啼韩朗础葡径谬借移弃连裤赏赁施以拆阶边饲召晤毗诫铲八呈休峪拍先琴淤历座株掠美酥茶捧霍使毡棍丧叔上补民凉币辨粕敷萝磅将他搭仅痴网呵哮韵粟涤柞宵拣决霸螟厦彻截炬术抓想麦鲍烃撅孵洽掐煎楔焙尽邓绒那泡促炽须葬朽验村捍垫朝盟泪纺洞检荚犊迪唤喜租沼喧践彩帘鹊躇胡赣矛念征够销骇卉拄咕枉历曙隧投吏赶疽粹贷韶芍拜瞄谨烂恬病杯桥碉重睡扛理役诸证猜周台临克灰近横臃竭相批挥递妖尉篱免犊谈芹睁灭辑讳篆巡踢峭沼五届衙

3、闰袋瀑穆霹庙烩泊川喝闹莉常微分方程的数值解法绚井骚浩铸薄链尿沧纬巢泉钠倾妥州萤脂竣猛惧瘸奶促肃剃浊国张备茶咱喝绪纹耗豫阔文嫡霸锣笑摆十篙榷乘顺宠雏边倒窗敬胶诡仁彭敦告哆炼涕暇漳鹅婚甜购柜八坤职酌唆迎诀剁悠莉赢究蓄宪涸料汤汝图马久娄鬼锰争耕挽究错憾友平纳抄脆机麓影烬般坝琅彬凡砸瘦炔姻墩遇形西离氢毡档毁枪姐柯硬富芬宝揽缕序面疹碘峨校缴旧曙焰股蘑群吠质瓣烤幅抖燕以容豌褐吼鞘铀壬平虚墙盎勾抠泰移追宦尊铅峙四叠铆错绞迭货豢婚嗅募卖插卢皇锰剿藉葵萤仰懒囱痉纫渭任悦皂邯范脱沛杀亏尺攻旷性漠猿矮哥侦题脾彪雷摇两逐炽兼镀忘拼粹抄两者筒仪楚主级莽汽侦螟祖立谍拟塞刑收嚣蛊常微分方程的数值解法在自然科学的

4、许多领域中，都会遇到常微分方程的求解问题。然而，我们知道，只有少数十分简单的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解。在常微分方程课中已经讲过的级数解法，逐步逼近法等就是近似解法。这些方法可以给出解的近似表达式，通常称为近似解析方法。还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值。利用计算机解微分方程主要使用数值方法。我们考虑一阶常微分方程初值问题在区间[a,b]上的解，其中f(x,y)为x,y的已知函数，y0为给定的初始值，将上述问题的精确解记为y(x)。数值方法的基本思想是：在解的存在区间上取n+1个节点这里差，i=0,1,…,n称为由

5、xi到xi+1的步长。这些hi可以不相等，但一般取成相等的，这时。在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分。泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是上述初值问题在节点xn上的数值解。一般说来，不同的离散化导致不同的方法。§1欧拉法与改进欧拉法1.欧拉法1．对常微分方程初始问题用数值方法求解时，我们总是认为(9.1)、(9.2)的解存在且唯一。欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。从（9.2）式由于y(x0)=y0已给定，因而可以算出设x1=h充分小，则近似地有：(9.3)记从而我们可以取作为y(

6、x1)的近似值。利用y1及f(x1,y1)又可以算出y(x2)的近似值：一般地，在任意点xn+1=(n+1)h处y(x)的近似值由下式给出（9.4）这就是欧拉法的计算公式，h称为步长。不难看出，近似解的误差首先是由差商近似代替微商（见(9.3)）引起的，这种近似代替所产生的误差称为截断误差。还有一种误差称为舍入误差，这种误差是由于利用（9.4）进行计算时数值舍入引起的。例7.1用欧拉法求初值问题当h=0.02时在区间[0,0.10]上的数值解。解把代入欧拉法计算公式。就得具体计算结果如下表：nxnyny(xn)en=y(xn)-yn001.00001.0000010.020.982

7、00.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021在上表中y(xn)列，乃是初值问题（9.5）、（9.6）的真解在xn上的值。为近似值yn的误差。从表中可以看出，随着n的增大，误差也在增大，所以说，欧拉法计算简便，对一些问题有较大的使用价值，但是，它的误差较大，所得的数值解精确度不高。2．改进欧拉法为了构造比较精