数学分析习作-数列极限与函数极限的异同

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1、云南大学数学分析习作课（1）读书报告题目：数列极限与函数极限的异同（定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院专业：数理基础科学姓名、学号：任课教师：时间：2009-12-26摘要18极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石；极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础；极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个

2、重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算一数列极限与函数极限的定义1、数列与函数：18a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：，，，…，，….通常记作{}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数=，故也称之为整标函数。b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数，可以按照确定的规律，得到内唯一一个实数和这个对应，我们就称是上的函数，它在的数值（称为函数值）是，记为，即。称是自变量，是因变量，又称是函数的定义域，当遍取内的所有实数时，在的作用下有意义，并且相应的函数值的全体所组成的范围叫

3、作函数的值域，要注意的是：值域不一定就是Y，它当然不会比大，但它可能比小。2、（一）数列极限的定义：对数列，若存在常数，对，有，则称数列收敛且收敛于，并称数列的极限为，记为=A.例1.试用定义验证：.证明：分析过程，欲使只需即可，故.例2.试用定义验证：证明：分析过程.欲使，只需（注意）。故，对于比较复杂的表达式，一般地，我们通过运算,适当放大，将变形简化到，既使得对于由不等式能比较容易求得，又使得当时，恒成立不等式，从而有。以下各例的解法中都贯穿这一思路。18例3.试用定义验证：证明：分析过程..故，.例4.试用定义验证：.证明：分析过程.欲使，注意到，利用不等式得，只需.故：.例

4、5．试用定义验证：.证明:分析过程.仿照上例的证法，记，有，只需.故，，：.例6.关于数列，证明：若对于某个常数以及，，：，则有.证明：由可知，N,:,于是由题设可得，:18.例7.设，，.证明：.证明:显然，注意到.于是由例6即得所证。（二）函数极限的定义：定义1设，若存在，，，：，则称当趋于时的极限为，记为或.类似的，设，若存在，,,:,则称当趋于-时的极限为，记为或.定义2.设，若存在，,,则称当趋于时的极限为，记为或.下面讨论当趋于某一实数时函数的变化情况函数在点处的左极限，右极限也可分别记作，左极限，右极限统称为单侧极限.若在的某去心邻域中有定义，则由定义可知：存在和均存在

5、且相等.注18需要特别指出的是，由于在一元函数微积分中我们研究的函数的定义域一般为区间或若干个区间的并集，因此在以后的有关函数极限的论证中，我们将就记作，对的左去心邻域右去心邻域也作类似的简化处理.几何意义设，在平面上任意画一条以为中心线，宽为的横带，则必存在一条以为中心线，宽为的竖带，使得竖带内的函数图像（除点（）外）全部位于所给定的横带内.例1试用定义验证下列函数极限：(1);(2).证明（1）因为，所以（2）当时，.因为，所以不妨设，由此推得，此时，于是.例2说明下列函数在点处不存在极限：（1）（2）：（3）.证明：（1）因为，所以在处不存在极限.（但是有.注意，.）18（2）

6、与（1）同理可得在处不存在极限.注意，本例中的函数与上例中的函数区别仅在点处是否有定义，但由极限定义可知，这并不影响我们对函数在处的极限存在性的讨论.（3）因为，所以在处不存在广义极限.二数列极限和函数极限的存在性条件:(一)数列极限的存在性条件：定理：（单调有界数列收敛定理）单调增（减），上（下）有界的数列必为收敛数列;单调增（减），上（下）无界数列必为正（负）无穷大量.证明：(i)设为单调数列，为数列中一切项所组成的数集，当然，且数列上有（无）界，即数集上有（无）界.记，则.（注：为简化语言，习惯上我们将所述的就记作.）若上有界，则，于是(即)：，注意到递增，故，此即说明收敛且收

7、敛于.若上无界，则，于是N，（即）：,仍由递增知，,即证得为正无穷大量.(ii)设为单调减数列.注意到，此时为单调增数列，则由（i）知，于是有=-.而下有（无）界，即，由此即得所证.18注：由上述证明可知：若数列单调增，则；若数列单调减，则.由此可得如下结论：单调增（减）数列收敛的充要条件是数列上（下）有界单调增（减）数列若发散，则必为正（负）无穷大量例1设，证明：.证明：令，则，于是可知，当充分大后，单调减且有下界0，从而收敛.记，则.注：利用此例可知，