高三数学等比数列

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1、等比数列一．课标要求：1.理解等比数列的概念。2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式。3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。4.了解等比数列与指数函数的关系。5.能利用等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和。二．命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。预测高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道

2、客观题目；（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。三、主要知识：等差数列等比数列定义（，…）（，…），，通项公式求和公式中项公式对称性若，则若，则分段和原理、、成等差数列、、成等比数列等比数列的概念及其通项公式，等比数列前项和公式；等比数列的有关性质；等比数列的充要条件:是等比数列（为非零常数）；是等比数列（）是等比数列是等比数列（，，）主要方法：涉及等比数列的基本概念的问题

3、，常用基本量来处理；已知三个数成等比数列时，可设这三个数依次为或；四个数时设为、、、等比数列的相关性质:若是等比数列，则；若是等比数列，，当时，特别地，当时，若是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；若是等比数列，是的前项和，则,,…成等比数列．两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．四、典例分析：题型1：等比数列的概念以及判定：例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正

4、确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：四个命题中只有最后一个是真命题。命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知an+1=an×，an+1an，即an+1>an，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，c∈R，此时有，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=，则成为不必要也不充分条件。点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。例2．命题1：若数列{an}的前

5、n项和Sn=an+b(a≠1)，则数列{an}是等比数列；命题2：若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0)，则数列{an}是等差数列；命题3：若数列{an}的前n项和Sn=na－n，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由命题1得，a1=a+b，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(a－1)·an－1。若{an}是等比数列，则=a，即=a，所以只有当b=－1且a≠0时，此数列才是等比数列。由命题2得，a1=a+b+c，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2na+b－

6、a，若{an}是等差数列，则a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有当c=0时，数列{an}才是等差数列。由命题3得，a1=a－1，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=a－1，显然{an}是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a－1≠0；即a≠1时数列{an}才又是等比数列。点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到Sn与an的关系，它们是an=，正确判断数列{an}是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择A。例3．（2000全国理，20）（Ⅰ）已知数

7、列｛cn｝，其中cn＝2n＋3n，且数列｛cn＋1－pcn｝为等比数列，求常数p；（Ⅱ）设｛an｝、｛bn｝是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列｛cn｝不是等比数列。解析：（I）【解法一】因为是等比数列，故有，将代入上式，得=，即=，整理得，解得=2或=3【解法二】因为是等比数列，故存在非零常数使得将代入化简得解得。【解法三】，故，，由题意可知解得。当时，适合题意。当时，也适合题意.从而.（II）设、的公比分别为、，为证不是等比数列只需证事实上，，由于，，又、不为零，因此，，故不是等比数列【点评】判断一个数列是等比数列或处理相关

8、问题，基本解法是定义法和等比中项法法，如（I）中的解法一和解法二，解法三用了特殊值探路，一般化证明的思路，符合人认识问题的一般规律，也是