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《高三数学等比数列 (2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3．4等比数列——学习等比数列要与等差数列比照着学习,这是类比思想的典型范例一、明确复习目标1．理解等比数列的概念和性质；2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能用公式解决简单问题.二．建构知识网络1．等比数列定义从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.,且第每项不为零.2．通项公式,推广:,变式3．前n项和,q≠1时，=.注:应用前n项和公式时,一定要区分q=1与q≠1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.4．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且5．等比数列{an}的性质:(1)若(2)下标成等差
2、数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列.6．证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:若(2)等比中项法:若(3)通项法:若(4)前n项和法:若数列为等比数列。7．解等比数列题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题);(2)转化化归思想;化归为等比数列,转化为基本量;(3)分类的思想:q=1和q≠1;由an+1－an=a1qn-1(q－1)讨论增减等.(4)等比数列中,次数较高时,常作同除.三、双基题目练练手1.(2006湖北)若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（）A.4B.2
3、C.-2D.-42.银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于()A.B.［（1+r）3－1］C.（1+r）3－1D.r3.（2006辽宁）在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则Sn等于()（A）（B）（C）（D）4.（2006北京）设，则等于()（A）（B）（C）（D）5.在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为6.已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，则通项公式为简答:1-4.DBCD;2.由题意得（1+r）3＜1+3q，故
4、q＞［（1+r）3－1］;4.通项an=23n-2,f(n)是前n+4项的和;5.6.转化为基本量a1，q，an=2n－1或an=23－n.四、经典例题做一做【例1】(2006陕西)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an解:∵10Sn=an2+5an+6，①代n=1得10a1=a12+5a1+6，a1=2或a1=3又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1
5、－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)当a1=3时，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3【例2】等比数列{an}的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为Sn，且Sn=80，S2n=6560，求：（1）前100项之和S100.（2）通项公式an.解：设公比为q，由已知得Sn==80，①S2n==6560，②由②÷①解得,qn=81,q>1,（∵an＞0）,可知最大项为an=a1qn－
6、1③qn=81代入①③得a1=2，q=3，（1）前100项之和S100==3100－1.（2）通项公式为an=2·3n－1.提炼方法:1.转化为基本量;2.解方程次数较高时除一下可降次.3.判定最大项的方法.【例3】（2005全国Ⅲ）在等差数列{an}中，公差d≠0,且a2是a1和a4的等比中项,已知a1,a3,成等比数列，求数列k1,k2,k3,…,kn的通项kn解：由题意得：即又an=na1又成等比数列,∴该数列的公比，其中第n+2项:又所以数列的通项为方法步骤:1.推a1=d,an=na1;q=a3÷a1=3,;2.比较在两数列中的式子.【例4】已
7、知，点在函数的图象上()（1）证明数列是等比数列；（2）设，求及数列的通项；解：（Ⅰ）由已知，，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知（*）=由（*）式得【研讨.欣赏】设数列｛an｝，a1＝，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程：an－1x2－anx＋1＝0（n∈Ｎ*且n≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.（1）求证:｛an－｝为等比数列；（2）求an；（3）求｛an｝的前n项和Sn.证明（1）∵α＋β＝，αβ＝代入3α－αβ＋3β＝1得an＝an－1＋，∴＝＝为定值.∴数列｛an－｝是等比数列.解（2）∵a1－＝－＝，∴an
8、－＝×（）n－1＝（）n.∴an＝（）n＋.解（3）Sn＝（＋+…+)+＝+＝－
