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《高考理科数学第一轮基础知识点复习教案45》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七节 立体几何中的向量方法[考情展望] 1.考查利用空间向量判断、证明空间中的线面位置关系.2.考查利用向量求空间角的大小.3.以解答题为主要考查形式．一、直线的方向向量和平面的法向量1．直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．2．平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n
2、2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0二、利用空间向量求空间角1．求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角〈a，b〉范围0<θ≤0＜〈a，b〉＜π关系cosθ＝
3、cos〈a，b〉
4、cos〈a，b〉＝＝2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝
5、cos〈a，n
6、〉
7、＝.3．求二面角的大小(1)若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图7－7－1①)．图7－7－1(2)设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图7－7－1②③)．利用空间向量求点面距离如图，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为
8、
9、＝.1．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(
10、)A．3 B．4 C．5 D．6【解析】 ∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.【答案】 C2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】 设l与α所成的角为θ.∵cos〈m，n〉＝－，∴sinθ＝
11、cos〈m，n〉
12、＝.又∵直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.【答案】 A3．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(
13、 )A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)【解析】 若l∥α，则a·n＝0，经验证知D满足条件．【答案】 D4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A．45°B．135°C．45°或135°D．90°【解析】 cos〈m，n〉＝＝＝，∴〈m，n〉＝45°，其补角为135°.∴两平面所成二面角为45°或135°.【答案】
14、 C图7－7－25．(2012·陕西高考)如图7－7－2所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )A.B.C.D.【解析】 不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)，∴cos〈，〉＝＝＝＝>0.∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.【答案】 A6．(20
15、13·大纲全国卷)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A.B.C.D.【解析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝
16、
17、cos〈n，〉
18、＝＝.【答案】 A考向一[133] 利用空间向量证明平行、垂直 如图7－7－3所示，在四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．图7－7－3(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.【思路点拨】 (1)建立空间直角坐
