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1、构造函数法在解题中的应用摘要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中的应用越来越广泛。本文就构造函数这一方法在不等式、数列、方程有解及恒成立问题等方面的应用举例说明。关键词：函数思想；构造函数；不等式；方程；应用函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。函数思想在数学应用中占有重要的地位，应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、三
2、角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。根据需要，构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也已渗透到中学数学中。首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。其次数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。下面我们举例说明构造函数
3、的方法在解题中的应用。一、构造函数解决有关不等式的问题有些不等式证明和比较大小的问题，如能根据其结构特征，构造相应的函数，从函数的单调性或有界性等角度入手，去分析推理，证明过程就会简洁又明快。例1：若，则的大小关系是。分析：式中各项的结构相同，只是字母不同，故可构造函数进行判断。解：构造函数，易证函数在其区间是单调递增函数。例2(2008年山东理)：已知函数其中为常数。当时，证明：对任意的正整数，当时，有证法一：因为，所以。当为偶数时，令则（）所以当时，单调递增。又，因此恒成立，所以成立。当为奇数时，要证，由于，所以只需证，
4、令，则（），所以，当时，单调递增，又，所以当时，恒有，即命题成立。综上所述，结论成立。证法二：当时，，当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明。令则，当时，，故在上单调递增，因此当时，，即成立。故当时，有，即。试题分析：第二问需要对构造的新函数进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值，最后作出判断。评注：函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用。函数与不等式之间如同一对孪生兄弟，通过对不等式结构特征的分析，来构造函数模型，常常可以收到出奇制胜的效
5、果。此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性。二、构造函数解决数列中的有关问题数列的实质是函数,用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解,加强知识点间的联系.例3：在等差数列中，已知Sp=q,Sq=p(p≠q),求Sp+q的值。略解：因为是n的一次函数，点(n,)共线，所以点（p,）,(q,),(p+q,)共线，则有化简即得Sp+q=－(p+q)。例4：等差数列{}的首项,前项的和为,若,问为何值时最大?简析:运用数列中的通项公式的特点,把数列
6、问题转化为函数问题解决。解:依题意,设此函数是以为自变量的二次函数。故二次函数的图象开口向下当时,最大,但中,当为偶数时,时,最大当为奇数时,时,最大。三、构造函数解决方程有解、无解及若干个解的问题方程有解、无解问题可以用“变量分离法”转化为求函数的值域，或直接构造函数。例5(2010上海文科数学)：若是方程式的解，则属于区间()A.（0，1）B.（1，1.25）C.（1.25，1.75）D.（1.75，2）解析：知属于区间（1.75，2）例6（2010天津文科数学）：设函数f(x)=x-,对任意恒成立，则实数m的取值范围是
7、________。答案：m<-1解析：本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。已知f（x）为增函数且m≠0，若m>0，由复合函数的单调性可知和均为增函数，此时不符合题意。M<0，时有因为在上的最小值为2，所以1+即>1,解得m<-1。点评：本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量。例7：已知函数，是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由。解：函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即构造函数。的
8、图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须所以存在，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点。四、构造函数解决几何问题在几何问题中,我们往往会遇到求夹角的最值和求
