构造法在解三角题中应用例说

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1、构造法在解三角题中的应用例说廖义杰羊勇在解题时按常规方法难以解决或无以下手时，就需要改变方向在更广阔的背景下，通过对条件或结论的分析与思考，构造出与问题有关的代数或几何模型，从而找到解决问题的方法与途径。巧妙应用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种知识相互渗透与交融，使学生的视野更开阔，创新思维得到发展与提高。下面例说构造法在解三角问题中的应用。一.构造方程例1.已知锐角满足，求证：。证明：已知条件可视为关于的一元二次方程因为是锐角，所以也均为锐角，由一元二次方程求根公式得：又则，再由，则有，故二.构造函数

2、例2.在斜△ABC中，证明sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2证明：构造函数因为（因为sinA<1，sinB<1）而f(x)在（0，1）上单调递减（因为sinAsinB-1<0）所以f(x)在（0，1）上恒有f(x)>0第5页（共5页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3、------正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010-82310666故f(sinC)>0代入整理得：sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2三.构造不等式例3.设α、β是锐角，且满足，求证：证明：因为α、β是锐角，则均大于0所以①同理②由①+②结合已知得，于是①，②等号同时成立即有且有故结论得证。四.构造数列例4.已知，求的值。解：由条件，可知构成一个等差数列。设其公差为d，则由可得解得又因为，所以，故应舍去。第5页（共5页）---------------

4、------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010-82310666所以，则故五.构造向量例5.已知，求锐角α、β。解：由已知得①构造向量由于所以又由，有即所以将代入①并整理得：则六.构造复数例6.已知，求解：构造复数则①所以第5页（共5页）----

5、-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010-82310666又所以，代入①式则所以又所以七.构造对偶式例7.求的值。解：设构造则①②由①+②得，即为所求三角式的值。八.构造比例式例8.求证：证明：因为，所以由等比定理知：

6、第5页（共5页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------正保远程教育地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层24小时客服热线：010-82310666则有九.构造平几模型例9.（题见例7）解：原式可变为故构造三内角分别为10°，20°，150°的三角形由余弦定理知：①再由正弦定理知：②

7、将B＝10°，A＝20°，C＝150°代入①，并结合②式知十.构造解析几何模型例10.已知，求证：证明：由知点A（）在单位圆周上，由于单位圆在点A处的切线方程为，又所以单位圆上的点B（cosβ，sinβ）在这条切线上又因为过圆上一点只有一条切线，从而A，B两点重合则故，那么于是第5页（共5页）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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