高考一轮数学复习 71直线的方程 理 同步练习（名师解析）

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1、第7章第1节知能训练·提升考点一：求直线的倾斜角和斜率1．下列命题：①直线倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα；②直线的斜率为k，则此直线的倾斜角为arctank；③任一直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；④直线的斜率为tanθ，则直线的倾斜角为θ，其中正确的是(　　)A．①　　　　　　　　　B．②和③C．③D．②和④答案：C2．若α∈，则直线2xcosα＋3y＋1＝0的倾斜角θ的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析：本题是基本题，关键概念是直线的倾斜角的范围，斜率的求法，因此倾斜角的正切值tanθ＝－cosα，由已知得－≤tanθ＜0，所以≤θ＜π.答案：

2、B3．(·湖北联考)若直线的倾斜角的余弦值为，则与此直线垂直的直线的斜率为(　　)A．－B.C．－D.解析：设直线的倾斜角为θ，由题意知cosθ＝，θ∈(0，)，∵sinθ＝，k＝tanθ＝＝，∴与此直线垂直的直线的斜率为－.答案：A考点二：求直线的方程4．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程为(　　)A．4x＋2y＝5B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5D．x－2y＝5答案：B5．若点A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，则相异两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是(　　)A．2x

3、－3y＋1＝0B．3x－2y＋1＝0C．2x－3y－1＝0D．3x－2y－1＝0答案：A6．求过点P(2，－1)在x轴和y轴的截距分别为a、b且满足a＝3b的直线方程．解：当a＝3、b≠0时，设所求直线的方程为＋＝1，即＋＝1.又因为直线过点P(2，－1)，所以＋＝1，解得b＝－.所求直线方程为＋＝1，即x＋3y＋1＝0.当a＝3、b＝0时，则所求直线过原点，可设方程为y＝kx.因为该直线过(2，－1)，所以－1＝2k，k＝－，所求直线的方程为y＝－x.综上所述，所求直线的方程为x＋3y＋1＝0或y＝－x.考点三：直线方程的应用7．有定点P(6,4)及定直线

4、l：y＝4x，点Q是直线l上且在第一象限内的点，直线PQ交x轴的正半轴于点M，则点Q在什么位置时△OMQ的面积最小．解：如图所示，设点Q(x0,4x0)(x0＞1)．当x0≠6时，可得直线PQ的方程为y－4＝(x－6)．令y＝0，得xM＝，∴点M的坐标为(，0)．∴S△OMQ＝

5、OM

6、·4x0＝＝＝≥40.此时x0＝2，∴点Q的坐标为(2,8)，当x0＝6时，点Q的坐标为(6,24)，此时S△OMQ＝×6×24＝72＞40.故当点Q的坐标为(2,8)时，△OMQ的面积最小，且最小值为40.说明：本题中PQ的直线方程是用点斜式表示的，要注意以下三个问题：(1)

7、讨论斜率不存在的情况，即x0＝6时的情况；(2)Q点坐标的设法；(3)对于S△OMQ＝，也可用判别式法求最值，步骤如下：去分母并按x0整理得10x－S△OMQ·x0＋S△OMQ＝0.(*)∵x0为实数，故有Δ＝S－4×10SOMQ≥0，从而S△OMQ≥40，即(S△OMQ)min＝40，此时由(*)式得10x－40x0＋40＝0，∴x0＝2，即Q(2,8)．8．直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点．(1)当

8、PA

9、·

10、PB

11、最小时，求l的方程；(2)当

12、OA

13、＋

14、OB

15、最小时，求l的方程．解：依题意，l的斜率存在，且斜率为负．

16、设l：y－4＝k(x－1)　(k<0)．令y＝0，可得A(1－，0)；令x＝0，可得B(0,4－k)．(1)

17、PA

18、·

19、PB

20、＝·＝－(1＋k2)＝－≥8.(注意k<0)∴当且仅当＝k且k<0，即k＝－1时，

21、PA

22、·

23、PB

24、取最小值．这时l的方程为x＋y－5＝0.(2)

25、OA

26、＋

27、OB

28、＝＋(4－k)＝5－≥9.∴当且仅当k＝且k<0，即k＝－2时，

29、OA

30、＋

31、OB

32、取最小值．这时l的方程为2x＋y－6＝0.1.(·四川)将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为(　　)A．y＝－x＋B．y＝－x＋1C．y＝3x－3D．y＝x

33、＋1解析：将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再右移1个单位，得到直线y＝－x＋.答案：A2．(·安徽)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(　　)A．(－，)B．[－，]C．(－，)D．[－，]解析：设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1即圆有公共点，圆心A(2,0)到直线l的距离d＝

34、

35、≤1，得4k2≤k2＋1，k2≤，∴－≤k≤.答案：D3．(·安徽)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　)A．

36、3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3