高考数学复习点拨 证明共面问题的几种常用方法

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1、证明共面问题的几种常用方法平面的基本性质是研究立体几何的基础，公理3及其推论是将立体几何图形问题转化为平面几何图形问题的理论依据，在这里，判断和证明点、线共面问题就显得十分重要。下面介绍点、线共面问题的三种常见类型。abcdABCD例1求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面。证明：分两种情况证明：⑴有三条直线过同一点，如图，∵AD，∴过A、D确定平面，又∵B、C、DD，∴B、C、D。于是AB，AC，AD，因此A、B、C、D四条直线共面．dabcABCDE⑵任三条直线都不过同一点，如图，∵AB=A，∴过A、B确定平面．

2、又∵D、EB，B、CA，∴D、E，B、C，由B、E，得C；由C、D，得D．因此A、B、C、D四条直线共面．评析：证明多个元素(点和线)共面，一般先由公理3或其推论确定平面经过某些元素(或者说这些元素在平面内)，再由公理1或公理2证明其它元素也在平面内．例2如图，直线AB、CD、EF两两平行，且分别与直线相交于A、C、E，求证：AB、CD、EF三条直线在同一平面内．证明：∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面．ACBDEFF∵A，C分别为AB，CD上的点，∴A，C，即．又∵EF∥CD，∴CD，EF确定一个平面．∵E，C分

3、别为EF，CD上的点，∴E，C，即．这样，和CD既在平面内，又在平面内，当和CD是相交直线，经过它们的平面只有一个，故和重合．∴AB、CD、EF三条直线共面．评析：证明多线共面问题，一般是三线共面作原始题，从而推广到多线共面，其常见证明方法是：先又其中两条直线确定一个平面，另两条直线确定一个平面，而和又同时具有确定平面的公共条件，进而和重合，从而三线共面．ABCD例3已知A、B、C、D是空间4点，且∠ABC=∠BCD=∠CDA=，求证：A、B、C、D在同一平面内．证明：如图，设A，B，C，D不在同一个平面内，则AB，C

4、D为异面直线．∵∠ABC=∠BCD=，∴BC⊥AB，BC⊥CD，即BC为AB，CD的公垂线．同理可知，AD也是AB，CD的公垂线．这和两异面直线公垂线的唯一性矛盾，因而命题结论成立，即A、B、C、D共面．评析：反证法是证明数学问题的最重要方法之一，立体几何中经常使用．它是以证逆否命题正确，从而推出与逆否命题等价的原命题也正确的方法来证明原命题的．