对数函数·例题解析

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1、对数函数·例题解析 域．解(2)∵1－loga(x＋a)＞0，∴loga(x＋a)＜1．当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为(－a，0)．当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为(0，＋∞)．域和值域．反函数的定义域为(0，1)，值域为y∈R．【例3】作出下列函数的图像，并指出其单调区间．(1)y=lg(－x)，(2)y=log2

2、x＋1

3、解(1)y=lg(－x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．解(2)先作出函数y=log2

4、x

5、的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y＝log2

6、x＋1

7、的图像如图2．8－4所示

8、．单调递减区间是(－∞，－1)．单调递增区间是(－1，＋∞)．的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为所示．单调减区间是(－1，2]．单调增区间是[2，＋∞)．解(4)∵函数y=log2(－x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故可先作y=log2(－x)的图像，再把y＝log2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log2(1－x)的图像．如图2．8－6所示．单调递减区间是(－∞，1)．【例4】图2．8－7分别是四个对数函数，①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx的图像，那么a、b、c、d的大小关系是[]A．d＞c

9、＞b＞aB．a＞b＞c＞dC．b＞a＞d＞cD．b＞c＞a＞d解选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x＞1的值，易得b＞a＞1＞d＞c．故选C．【例5】已知loga3＞logb3，试确定a和b的大小关系．解法一令y1=logax，y2=logbx，∵logax＞logb3，即取x＝3时，y1＞y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当loga3＞logb3＞0时，由图像2．8－8，取x=3，可得b＞a＞1．(2)当0＞loga3＞logb3时，由图像2．8－9，得0＜a＜b＜1．(3)当loga3＞0＞logb3时，由图像2．8－10，得a＞1＞b＞0．解法二由换底公

10、式，化成同底的对数．∵函数y=log3x为增函数，∴b＞a＞1．∵函数y=log3x为增函数，∴0＜a＜b．即a＞1＞b＞0．顺序是：________．说明本题解决的思路，是把已知的对数值的正负，或大于1，小于1分组，即借助0、1作桥梁这个技巧，使问题得以解决．【例7】设0＜x＜1，a＞1，且a≠1，试比较

11、loga(1－a)

12、与

13、loga(1＋x)

14、的大小．解法一求差比大小．

15、loga(1－x)

16、－

17、loga(1＋x)

18、∴

19、loga(1－x)

20、＞

21、loga(1＋x)

22、解法二求商比较大小=

23、log(1+x)(1－x)

24、=－log1+x(1－x)∵(1＋x＞1，而0＜1－x＜1)

25、∴

26、loga(1－x)

27、＞

28、loga(1＋x)

29、奇偶性．解法一已知函数的定义域为R，则－x∈R∴f(x)是奇函数．解法二已知函数的定义域为R=loga1=0∴f(x)=－f(x)，即f(x)为奇函数．还是减函数？并证明．(2)讨论函数y=loga(ax－1)的单调性其中a＞0，且a≠1．(1)证明方法一f(x)在(0，1)上是增函数．设任取两个值x1，x2∈(0，1)，且x1＜x2．(∵0＜x1＜x2＜1，∴x1－x1x2＜x2－x1x2)．∴f(x1)＜f(x2)故f(x)在(0，1)上是增函数．(2)解由对数函数性质，知ax－1＞0，即ax＞1，于是，当0＜a＜1时，函数的

30、定义域为(－∞，0)，当a＞1时，定义域为(0，＋∞)．当0＜a＜1时，u＝ax－1在(－∞，0)上是减函数，而y=logau也是减函数，∴y=loga(ax－1)在(－∞，0)上是增函数．当a＞1时，u＝ax－1在(0，＋∞)上是增函数，而y=logau也是增函数，∴y＝loga(ax－1)在(0，＋∞)上是增函数．综上所述，函数y=loga(ax－1)在其定义域上是增函数．【例10】(1)设0＜a＜1，实数x、y满足logax＋3logxa－logxy=3，减函数．＋∞)上是减函数．