湖北省黄冈中学高考数学 典型例题9 指数、对数函数

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1、高考数学典型例题详解指数、对数函数指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.●难点磁场(★★★★★)设f(x)=log2,F(x)=+f(x).(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若f(x)的反函数为f－1(x),证明：对任意的自然数n(n≥3),都有f－1(n)>;(3)若F(x)的反函数F－1(x),证明：方程F－1(x)=0有惟一解.●案例探究［例1］已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2

2、x的图象交于C、D两点.(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标.错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标.(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐

3、标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x2,所以OC的斜率：k1=,OD的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2即：log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=,则点A的坐标为(，log8).［例2］在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),

4、P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=()x(0

5、题目.知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.解：(1)由题意知：an=n+,∴bn=().(2)∵函数y=()x(0bn+1>bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()－1>0,解得a<－5(1+)或a>5(－1).∴5(－1)

6、列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1.于是当bn≥1时，Bn

7、示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么()A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10－x+2)B.3.(★★★★★)已知函数f(x)=.则f-－1(x－1)=_________.4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有aL水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=ae－nt,那么桶2中水就是y2=a－ae－nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有.三、