高考数学复习点拨 导数极其应用---备考导航

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1、导数及其应用——备考导航一、命题特点1．导数是高中课程的重要内容，是解决实际问题强有力的工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质（单调性、极值、最值）是高考的热点问题。对本部分内容的考查呈现以下特点：（1）导数作为函数的延伸，高考一般与函数综合考查。（2）考查内容：①导数的物理意义和几何意义；②基本函数的导数；③导数的四则运算；④复合函数的导数。（3）考查形式：选择题、填空题、解答题各种题型都会考查，选择题、填空题一般难度不大，属于高考中的中低档题，解答题有一定的难度，一般与函数及解析几何结合，属高考中的中高档题。2．定积分是新课标教材新高考增加的内容，主要包

2、括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际应用中非常广泛，因而在的高考会在这方面考查，本部分的考查呈以下特点：（1）定积分在原教材上尽管有这部分内容，但高考大纲没有把它列入高考范围，新课标教材只对定积分提出了明确要求，因此高考难度不会太大，仍会注重基本概念、基本性质、基本公式的考查及简单应用。（2）高考中本章的题目一般是选择题或填空题，考查定积分的基本概念及简单计算，且属于中低档题。（3）定积分是由于计算面积、体积等问题的需要而发展起来的，因此“和式极限”已成为解决许多问题的数学模型，定积分的应用也主要体现在这几个方面。二、热点预测对这

3、部分知识考查的题型仍为两大类：一类是在选择、填空中考查导数、积分的基本知识，导数、积分的概念，初等函数的求导、积分问题等；另一类则是以导数为工具，综合考查导数在函数与解析几何中的应用，这类题型是高考必考题型，而且至少有一道是解答题，尽管对导数知识要求不是太高，但其难度较大，题目灵活，区分度较高，因而有时会以压轴题形式出现。三、备考建议1．一定要理解导数的物理意义及几何意义，尤其是几何意义，在解决曲线的切线问题上有广泛的应用。2．公式要牢记，尤其是指数函数与对数函数的求导公式比较容易记混，要在应用中理解并记忆。积函数与商函数的导数公式也是学生不习惯的，弄清区别，

4、以免造成由于公式记忆不牢而丢分。3．特别注意能用导数的方法解决一些函数的性质问题，解决一些用初等方法很难解决而用导数的方法且较顺利解决的问题，即能解决导数与函数的综合性问题。4．重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分基本定理，并能熟练计算一些函数的积分。5．定积分的概念是运用分割、求和、逼近的思想，从曲边梯形的面积与变速直线运动的路程等实际问题中概括出来的，因此，关键是正确理解“和式极限”。6．重点掌握定积分的计算方法：定积分定义法；牛顿——莱布尼茨公式法；几何法等。三、范例剖析例1（山东）设函数，其中，求的单调区间。解析：由已知得函数的

5、定义域为，且。（1）当时，，函数在上单调递减。（2）当时，由得。、随的变化情况如下表：0极小值从上表可知，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增。综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减；在上单调递增。评注：利用导数求函数单调性的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）令（），解出相应的的范围；（4）根据的正、负，确定出函数的增区间和减区间。例2某种型号的电器降价成（1成为），那么销售数量就增加成（）。某商店此种电器的定价为每台元，则可以售出台，若经降价成后，此种电器营业额为元。试建立与的函数关系，并求时，每台降价多少成其营

6、业额最大？解析：由条件，降低后的营业额为：，∴当时，，∴。令，得，即时，。即降价0.1成时，营业额最大。评注：在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合。用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点。例3已知，求的最大值。解析：先求出定积分的值，即将问题转化为关于的一元二次函数，然后求解。，∴，故当时，有最大值。评注：该例将定积分运算与二次函数求最值联系起来，用配方法求函数的最值。例4设函数，在

7、和处有极值，且，求、、的值，并求出相应的极值。解析：。∵是函数的极值点，则、1是方程的根，∴，解得。又，则有，由上述三个方程可得，此时函数的表达式为。∴，令得。当变化时，、随的变化情况如下表：1+00+极大值极小值由上表可以看出，当时，函数有极大值，且；当时，函数有极小值，且。评注：解题的成功要靠正确思路的选择，该例从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化。