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《高考数学复习点拨 双曲线的简单几何性质概要》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、双曲线的简单几何性质概要 1、双曲线-＝1的简单几何性质 (1)范围：｜x｜≥a,y∈R. (2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称. (3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同. (4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±x，或令双曲线标准方程-＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e＝＞1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2
2、＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝. (7)共轭双曲线：方程-＝1与-＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式. 注意： （1）与双曲线-＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为-＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆+＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为-＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆，b2＜λ＜a2时为双曲线) 2.双曲线的第二定义 平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝的距离之比等于常数e＝(c＞a＞0)的点的轨迹是
3、双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同. 焦半径(-＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线-＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0+a,｜pF2｜＝ex0-a; P在左支上时，则｜PF1｜-(ex1+a),｜PF2｜＝-(ex1-a). 3、重难点 本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用. 4、学习要求： 学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一
4、样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握. 双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容. 通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育. 5、典型热点考题】 例1已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)左、右焦
5、点分别为F1和F2，P是它左支上点，P到左准线距离为d. 问：是否存在这样的点P，使d,｜PF1｜，｜PF2｜成等比数列，说明理由. 分析：对于存在性问题，先假设存在满足题意的对象，然后结合题设条件进行判断. 设存在P(x0,y0)且x0≤-a，使d，｜PF1｜，｜PF2｜成等比数列，则｜PF1｜2=d｜PF2｜， 设d′为P点到右准线的距离，由双曲线第二定义得： ==e∴｜PF1｜=ed, ∴(ed)2=d·ed′，∴ed=d′， ∴e(--x0)=-x0+, ∴x0=，∵x0≤-a, ∴≤-
6、a,∴e2-2e-1≤0， ∴1-≤e≤+1,又e＞1， ∴1＜e≤+1. 故当双曲线的离心率e∈(1,+1)时，存在满足条件的P，而当e∈(+1,+∞)时，不存在满足条件的点P. 注：利用双曲线的第二定义解题是非常有效的方法.本例还可以利用双曲线的两种定义再结合不等式｜PF1｜+｜PF2｜≥｜F1F2｜求解，请同学们自己完成. 例2如图，已知梯形ABCD中，｜AB｜=2｜CD｜，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点.当（≤λ≤)时，求双曲线离心率e的取值范围. 分析：
7、如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，则CD⊥y轴. 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意，记A(-C，0)，C(,h),E(x0,y0,)其中c=｜AB｜为双曲线的半焦距，h是梯形的高. 由定比分点坐标公式得 x0==，y0= -=1, ① ()2-()2=1 ② 由①式得=-1 ③ 把③式代入②式，整理得(4-4λ)=1+2λ， 故λ=1-。 由题设≤λ≤得≤1-≤.
8、 解得≤e≤. 所以双曲线的离心率的取值范围为［,］. 注：本例先求出C点纵坐标，用a、b、c表示，然后将E点坐标用λ表示，并代入双曲线方程，而得到含有e与λ的等式，由λ范围求出e的范围. 例3已知双曲线的两个焦点分别为M、N，点M的坐标为(-2，-12)，点S(-7，0)、T(7，0)在双曲线. (1)利用双曲线定义，求点N的轨迹方程； (2)是否存在过P(1
