高考数学等差等比数列的性质运用

高考数学等差等比数列的性质运用

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时间:2018-05-03

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1、08高考数学等差数列等比数列的性质运用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题,往往可以回避求其首项和公差或公比,使问题得到整体地解决,能够在运算时达到运算灵活,方便快捷的目的,故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.●难点磁场(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的和为_________.●案例探究[例1]已知函数f(x)=(x<-2).(1)求f(x)的反函数f--1(x);(2)设a1=1,=-

2、f--1(an)(n∈N*),求an;(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.命题意图:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目,着重考查学生的逻辑分析能力,属★★★★★级题目.知识依托:本题融合了反函数,数列递推公式,等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉,结构巧妙,形式新颖,是一道精致的综合题.错解分析:本题首问考查反函数,反函数的定义域是原函数的值域,这是一个易错点,(2)问以数列{

3、}为桥梁求an,不易突破.技巧与方法:(2)问由式子得=4,构造等差数列{},从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧;(3)问运用了函数的思想.解:(1)设y=,∵x<-2,∴x=-,即y=f--1(x)=-(x>0)(2)∵,∴{}是公差为4的等差数列,∵a1=1,=+4(n-1)=4n-3,∵an>0,∴an=.(3)bn=Sn+1-Sn=an+12=,由bn<,得m>,设g(n)=,∵g(n)=在n∈N*上是减函数,∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*

4、有bn<成立.[例2]设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4)命题意图:本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则,等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.知识依托:本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件,求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列,分析该数列项的分布规律从而得解.错解分析:题设条件

5、中既有和的关系,又有项的关系,条件的正确转化是关键,计算易出错;而对数的运算性质也是易混淆的地方.技巧与方法:突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列,而等差数列中前n项和有最大值,一定是该数列中前面是正数,后面是负数,当然各正数之和最大;另外,等差数列Sn是n的二次函数,也可由函数解析式求最值.解法一:设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有化简得.设数列{lgan}前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn-1=lga1n·q1+2+…+(n-1)=nlga1+n(n-1)·

6、lgq=n(2lg2+lg3)-n(n-1)lg3=(-)·n2+(2lg2+lg3)·n可见,当n=时,Sn最大.而=5,故{lgan}的前5项和最大.解法二:接前,,于是lgan=lg[108()n-1]=lg108+(n-1)lg,∴数列{lgan}是以lg108为首项,以lg为公差的等差数列,令lgan≥0,得2lg2-(n-4)lg3≥0,∴n≤=5.5.由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大.●锦囊妙计1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便

7、的工具,应有意识去应用.2.在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并树立“目标意识”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标,往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若,则Sn等于()C.2D.-2二、填空题2.(★★★★)已知a,b,a+b成等差数列,a,b,ab成等比数列,且0

8、,则m的取值范围是_________.3.(★★★★)等差数列{an}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为_________.4.(★★★★)已知a、b、c成等比数列,如果a、x、b和b、y、c都成等差数列,则=_________.三、解答题5.(★★★★★)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,

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