高考数学复习点拨 组合问题求解策略

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1、组合问题求解策略解决组合应用题的基本思想思路是“化归”，即由实际建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而解决实际问题的解。一、有限制条件的组合应用问题解答有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”（排除法），其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其它元素的选取。而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反向问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此。例1、甲、乙、丙3人值日，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值

2、周六，问可排出多少种不同的值日表？解法一：分两种情况：（1）甲不值周一也不值周六，他可从周二到周五中任选两天值日，有种选法；此时乙可以从剩余的两天及周一中任选两天值日，有种选法；所以有·种值日法。（2）甲不值周一但值周六，另一天从周二到周五中任选一天，有种选法，此时甲选剩下四天中不再有周六，故乙可从剩余的四天中任选两天值日，有种选法，这时共有·种值日法。由（1）（2）知，符合题意的值日法共有·＋·＝42种。解法二：（间接法）共有－2＋＝42种值日法。二、几何组合应用问题解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合

3、问题，往往寻找一个组合的模型加以处理。此外，解决几何问题，必须注意几何问题本身的限制条件，如共线、共面、交点等要注意分清“对应关系”，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等等，解题时可借助图形来帮助思考，并善于将几何性质利用于解题之中。例2、在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直线？解法一：一个正方体的棱、面对角线和体对角线共28条，底面、侧面和对角面共12个面的每一个面中，任意两天直线都不构成异面直线，8个顶点中过每个顶点的3条面对角线不能构成异面直线，故共有对异面直线。解法二：因为一个三棱锥的6条棱中有且仅有3对异面直线，而一个正方体的8

4、个顶点中取4个点的取法有种，上述12个底面、侧面和对角面每个面的4个顶点不能构成三棱锥。故一个正方体的8个顶点可构成－12＝58个三棱锥，所以一个正方体中符合题设要求的异面直线共有3（－12）＝3×58＝174对。点评：本题审清题意，即为从28个元素中任取2个元素的组合，为做到不重不漏，应注意三线共点时不能构成异面直线的情形；而通过构造基本图形――三棱锥，使较难的一个问题分解成两个较容易的问题，从而比较容易地得以解决。一、构造组合模型排列、组合应用题的背景丰富、千奇百怪、情景陌生、无特定的模式和规律可循，因此必须认真审题，把握问题的本质特征，化归为排列、组合的常规模型进而求解。例3、某

5、市有7条南北向街道，5条东西向街道（如图）（1）图中共有多少个矩形？（2）从A点走到B点最短路线的走法有多少种？解：（1）任意一个矩形可由两条横线和两条纵线组成；（2）从A点走到B点最短路线的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向相同。（1）在7条纵线中任选2条，在5条横线中任选2条，这样的4条线可组成1个矩形，故可组成矩形有＝210个；（2）每条东西的街道分成6段，每天南北向街道被分成4段，从A到B最短路线的走法无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向向东，另4段方向向北。每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的（剩下4段即是走南北方向的），共有

6、种走法（同样可以从10段选4段走南北方向，每个选法是1种走法）。点评：要在实际问题中建立组合模型，就需要抓住特例进行方向，如在本题（1）中，注意一个矩形可由图中两天横线和两天纵线所围成，因而只要从5条横线中选2条，再从7条纵线中选2条即可，从而建立组合模型；而在（2）中，观察分析每天最短路线均由10段组成，其中6段为由西向东的方向，而另4段由南向北的方向所组成。