高考数学复习点拨 运用数学思想方法求解函数问题

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1、运用数学思想求解函数问题函数中蕴含着丰富的数学思想方法，解题时若能充分运用这些数学思想方法，常可使许多问题获得简洁巧妙的解决．１．对应的思想在本章中，映射是一种对应，函数是一种对应，并且函数是按照某种对应关系建立的从定义域到值域的映射，因此函数的定义域、对应关系确定以后，值域就确定了，在解题中，一定注意函数定义域．例１　已知集合Ｍ＝｛１，２，３｝，Ｎ＝｛４，５｝，函数以Ｍ为定义域，以Ｎ为值域，则这样的函数共有——————１２３４５１２３４５１２３４５１２３４５１２３４５１２３４５解：　　　　　　　　　　　　　　　　　图１由图可知，这样的函数共有６个．　　２．数形结合的思想方法　　函数

2、的图像直观地显示函数的性质，借助于图像来研究、解决有关函数的问题是数形结合应用的一个重要方面．在解不等式、判断方程是否有解、解的个数及二次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图像解题．Ｏｘｙ1１图２例2方程的解的个数是（）Ａ．０个　　　　　Ｂ．１个　　　　　　　　Ｃ．２个　　　　　Ｄ．３个　解：在同一坐标系画出函数及的图像，如图２，他们的图像有1个交点．故选Ｂ．例3　已知＜０，下列不等式中成立的一个是（　　）　Ａ．＞　　　　Ｂ．＞　　　Ｄ．　　Ｄ．Ｏｘｙ1１图3解：若在同一坐标系中分别作出的图象　，　如图２所示，显然＜０时，，　即＜０时，．　　３．分类讨论的思想　　在函数

3、这一部分经常涉及到分类讨论的情形，特别是含参数的二次函数在部分区间上的最值问题，含参数的函数单调性的研究及应用等问题中，一般需用分类讨论的思想方法．　　例4　已知函数在区间［－，２］上的最大值为１，求实数的值．解：＝０时，＝－－３，在［－，２］上不能取得１，故０．　　（０）的对称轴方程为　　（１）令，解得＝－，此时［－，２］　　∵　＜０，最大，所以不合适．　　　　（２）令，解得＝，此时［－，２］∵　＝＞０，　　∴最大，合适．（３）令＝１，解得＝，验证后知只有＝才合适．　综上所述，＝，或＝．　　４．转化与化归的思想　　在解决恒成立及复合函数等问题时，往往可以把问题转化为指数函数、对数函

4、数、二次函数、幂函数等我们熟悉的函数去研究，将复杂的问题分解、归结为简单问题．例5　已知函数　，，若对任意，＞０恒成立，试求实数的取值范围．解：在区间［１，＋）上，＞０恒成立恒成立．　设，　∵　＝递增，　∴当＝１时，，当且仅当＞０时，函数＞０恒成立．　故＞－３５．函数与方程的思想本章中学习了指数函数、对数函数，研究了分段函数，函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性．因此，用函数和方程的观点指导解题，是一种重要思想方法．例6　设，且它们的绝对值都不大于１，求证：．　　分析：构造函数，是关于的一次函数，由于［－1，1］,只要证明且，就能证明．证明：设，是关于的一次函数∵∴∴在［－1，

5、1］上恒为负，∴．评注：本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子的特征构造出一次函数，从而由一次函数的图像性质，使问题得以解决．