微分方程在数学建模中的应用举例

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1、微分方程在数学建模中的应用举例微分方程在数学建模中的应用举例　　数学建模是数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机技术的快速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用越来越重要，而且已经应用到各个领域。用微分方程解决实际问题的关键是建立实际问题的数学模型微分方程。这首先要根据实际问题所提供的条件，选择确定模型的变量，再根据有关学科，如物理、化学、生物、经济等学科理论，找到这些变量遵循的规律，用微分方程的形式将其表示出来。　　一、交通红绿灯模型　　在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹

2、车，以免冲红灯违反交通规则。这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？　　停车线的确定，要确定停车线位置应当考虑到两点：一是驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间，在这段时间里，驾驶员尚未刹车。二是驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离。驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间）较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都必须经过测试）。例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，（反应时间的长短并不影响到计算方法）。停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下。设汽车质量为m，刹车摩擦系数为

3、f，x（t）为刹车后在t时刻内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为fmg（g为重力加速度）。由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程：　　md2xdt2=-fmg　　x（0）=0，dxdtt=0=v0　　（1）　　在方程（1）两边同除以并积分一次，并注意到当t=0时dxdt=V0，得到　　dxdt=-fgt+v0　　（2）　　刹车时间t2可这样求得，当t=t2时，dxdt=0，故　　t2=v0fg　　将（2）再积分一次，得　　x（t）=-12fgt2+v0t　　将t2=v0fg代入，即可求得停车距离为　　x（t2）=1v202fg　　据此可知，停车线到路口的距离应为：　　

4、L=v0t1+12v20fg　　等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离。　　黄灯时间的计算，现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了。在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口，记街道的宽度为D（D很容易测得），平均车身长度为，这些车辆应通过的路程最长可达到L+D+l，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为：　　T=L+D+lv0　　二、市场价格调整模型　　对于纯粹的市场经济来说，商品市场价格取决于市场供需之间的关系，市场价格能促使商品的供给与需求相等这样的价格称为（静态）均衡价格。也就是说，如果不考虑商品价格形成的动态过程，那

5、么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡，但是，实际的市场价格不会恰好等于均衡价格，而且价格也不会是静态的，应是随时间不断变化的动态过程。　　如果设某商品在时刻t的售价为P，社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数D（P），S（P），则在时刻t的价格p（t）对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量D（P）-S（P）成正比，即有微分方程　　dPdt=k[D（P）-S（P）]（k>0）　　（3）　　在D（P）和S（P）确定情况下，可解出本文由论文联盟.L.cOm收集整理价格与t的函数关系，这就是商品的价格调整模型。　　某种商品的价格变化主要服从市场供求关系。一般情况下，商品

6、供给量是价格的单调递增函数，商品需求量Q是价格P的单调递减函数，为简单起见，分别设该商品的供给函数与需求函数分别为　　S（P）=a+bP，Q（p）=α-βP　　（4）　　其中a，d，α，β均为常数，且b>0，β>0。　　当供给量与需求量相等时，由（4）可得供求平衡时的价格　　Pe=α-aβ+b　　并称Pe为均衡价格。　　一般地说，当某种商品供不应求，即S<Q时，该商品价格要涨，当供大于求，即S>Q时，该商品价格要落。因此，假设t时刻的价格P（t）的变化率与超额需求量Q-S成正比，于是有方程

7、　　dPdt=k[Q（P）-S（P）]　　其中k>0，用来反映价格的调整速度。　　将（4）代入方程，可得　　dPdt=λ（pe-P）　　（5）　　其中常数λ=（b+β）k>0，方程（5）的通解为　　P（t）=Pe+Ce-λt　　假设初始价格P（0）=P0，代入上式，得C=P0-Pe，于是上述价格调整模型的解为　　P（t）=Pe+（P0-Pe）eλt　　由于