数学建模微分方程应用举例82276new

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1、第2l卷第4期长春大学学报Vo1．21N0．42011年4月J0URNALOFCHANGCHUNUNIVERSITYApr．2011数学建模微分方程应用举例滕伟(三亚航空旅游职业学院基础教学部，海南三亚572000)摘要：常微分方程是数学建模的必备知识，但在建模过程中常被忽视。本文从常微分方程在数学建模中的作用和应用两方面入手，以两个独立模型阐述了常微分方程在数学建模中的重要贡献，并由此揭示了由纯方程理论建立起的数学模型所具备的基础性、直观性、应用性和有效性。关键词：数学建模；常微分方程；应用中图分类号：O175．1文献

2、标志码：A文章编号：1009—3907(2011)04—0068—06O引言数学建模是一个对复杂现象进行分析、用数学语言描述其中的关系或规律、抽象出恰当的数学关系，并将其实际问题转化成一个数学问题，同时运用数学系统的知识方法对数学问题进行求解，对现实问题做出解释的过程。与数学不同，构建数学模型的过程不仅要对复杂问题进行提炼、归纳和总结，而且还要进行演绎推理。数学建模也是一个分析问题、解决问题的创造性思维过程，它的内容来自于实践、结果应用于实践、方法结合于实践，因此要选准切人点，才能有机地结合常微分方程的内容，充分体现数学

3、建模的思想意图。应用微分方程理论在实际解决问题的过程中建立的数学模型，一般是动态数学模型，其结果极其简明，但整个推导过程却有点繁杂，不过还是能给人们以合理的解释。因此，有机地将数学建模与常微分方程结合，必定能使常微分方程在实际应用过程中发挥更多更好的作用，以便能解决更多的实际问题，产生更好效益l1]。1工程学方面的应用悬链线问题【2]。如图1所示，有一根质地完全柔软且质量均匀的线(如电缆)悬挂于点A、之间，在重力作用下处于平衡状态，试确定此曲线方程。．’k＼—／／i●_JLDXnX+dx】图1悬链线该问题是一道历史名题，

4、最初由詹姆斯·贝努利(JamesBernoulli)提出，伽利略(Galileo)等人曾猜想该曲线为抛物线，后来发现不对，最后由约翰·贝努利(JohnBernoulli)解决了。莱布尼兹(Leibniz)将其命名为悬链线，悬链线在工程中有极其广泛的应用。设曲线方程为Y=Y()，P为悬链线每单位长度所受到的重力，在曲线上任意点尸(，Y)处，T()表示该点的张力，()表示该点处切线与轴的夹角，于是可知、丁()eos[O()]，了1()sin[0()]收稿日期：2010-O3—14作者简介：滕伟(1982一)，男，江苏南通人，

5、助教，主要从事高等数学及应用数学方面的教学与研究。第4期滕伟：数学建模微分方程应用举例分别为点P处的水平张力与垂直张力。。再设，点P在处有增量，则点Q的横坐标为+，因悬链线在重力下平衡，则由平衡条件可知，水平方向上恒有T()COS[0()]=T(+d)COS[0(+d)]，于是悬链线处于平衡时，任意两点处水平张力相等，即表述为：平衡悬链线上任一点处水平张力恒为常数T()COS[()]=H，H∈R。由弧长微元可知PQ长为ds=，则PQ所受重力为p=p，其在垂直方向仍然平衡，则有T(+d)sin[(+dx)]=T(+dx)C

6、OS[O(x+d)]tan[o(x+d)]=Htan[O(x+d)]=Htan[0()]+pds：Htan[()]+p~／／l+(Y)dx。整理等式，得到／／tan[0(x+dx)]：Htan[()]+p~／1+()dx，即y(+)一y()=。方程两端同除以，有dx=1t_，令dx=△，则，，=△_÷0Ax=1t’一，即得悬链线满足的微分方程为y：，这是可降阶的二阶方程，设Y=z，方程化为d：告日廊⋯，’分离变量，积分可得』告『d对于方程左端积分』_兰出，设z=tanu，则dz=secudu，于是√1+Z‘f——===：

7、d。：f—一．。zⅡd：,／1+。ufsecudu=InItanu+see／．／I+C=In(+~／1+)+C。带人通积分，合并任意常数项，得In(z+)：+c=(+C1)，即—骨(x+C1)一：e，70长春大学学报第21卷两端平方，得2嚣(+c1)：e鲁(+c一1．即堑(+c¨e一且H(+c1)H1e卫H(+cee⋯。¨一⋯一e、⋯l—2eH+Ll，———二—一凼Y=z，即y=sh[(+c)]，两端对积分，得悬链线通解为，，=fsh[P~(x+Ct)=叫嚣()1d[务()】=[()]+设悬链线上最低点处的坐标为(，^)

8、，即y(x。)=，且该点处切线水平，即Y(。)=0，得到初始条件为fy(。)=IY(o)=0’带入通解．得H—，【p日_(。+c)】+c：=H·曼10_二二+c：h[(。+c)]：旦兰二：。’即fct：一。1：一旦。带人通解，得到悬链线的方程为y=告(x-Xo)]H。悬链线在高压线的高空架设中经常用到，设两座等高铁塔