江苏省高考数学立体几何最后押题 (3)

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1、江苏省高考数学立体几何最后押题1．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB＝2CD，AA1＝AD＝CD＝1.D1ABCDA1B1C1求：（1）AD与BD1所成的角；（2）AB与面BB1D1D所成的角：（3）求面A1DD1与面BCD1所成锐二面角的大小.ABCDA1B1C1D12．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面B1AC与底面ABCD垂直，B1A、B1B、B1C与底面ABCD所成的角均为45°，AD//BC，且AB=BC=2AD.（1）求证：四边形ABCD是直角梯形；（2）求异面直线AA1与CD所成角的大小；（3）求

2、AC与平面AB1B所成角的大小。ABCDA1B1C1D13．如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1，BD1⊥AD，AA1＝AD＝2，∠ADD1＝60°，底面ABCD为菱形，二面角D1－AD－B的大小为1(Ⅰ)求BD1与底面ABCD所成角的大小;(Ⅱ求二面角A－BD1－C的大小.江苏省高考数学立体几何最后押题参考答案D1ABCDA1B1C1EMN1．解：(1)过B作BE//AD，且BE=AD，连CE、D1E，则∠D1BE为AD与D1B所成角或其补角，在Rt△D1DE中，求得D1E＝，在△ABD中由余弦定理得BD＝，在Rt△D1BD中D1B=2，在△D1

3、BE中，D1B2＋BE2＝D1E2，∴∠D1BE＝90°，所以AD与D1B成的角为900.（也可以通过证明线面垂直来证明）（2）由（1）AD⊥D1B，又AD⊥D1D，∴AD⊥平面D1BD，所以∠ABD为AB平面D1BD所成角，在Rt△ABD中，∠ABD=300（3）延长AD、BC相交于点M，连接D1M，则D1M为平面D1AD与平面D1BC的交线，易证BD⊥平面D1AD，过D作DN⊥D1M，连BN，则由三垂线定理，得BN⊥D1M，∴∠BND为平面D1AD与平面D1BC所成的角，在△ABM中，AB＝2CD，∴D为AM的中点，DM＝AM＝1，在Rt△D1DM中

4、，D1D＝DM＝1，D1ABCDA1B1C1MNxyzD1M＝，∴DN⊥D1M，∴DN＝D1M＝在Rt△BDN中，BD＝，DN＝，∴tan∠BND＝＝.方法二：（1）（向量法）建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，A(，－，0）B(，，0)，D1(0，0，1)，C(0，1，0)，＝(－，，0），＝(，，－1)，∴·＝－＋＋0＝0，∴AD⊥D1B，故AD与D1B所成的角为90°.（2）同法一（3）由（1）知AD⊥D1B，又D1D⊥平面ABCD，∴AD⊥BD，平面D1AD⊥平面ABCD，∴BD⊥平面D1AD，故平面D1AD的法向量为n1

5、＝＝(－，－，0)，设平面D1BC的法向量为n2＝(x，y，1)，由n2⊥BC，n2⊥D1B，＝(－，－，0），＝(，，－1)，得Þ∴n2＝(－，1，1)，cos＝＝＝－,所以平面D1AD与平面D1BC所成锐二面角的大小为arccos.2．解：方法一（1）证明：作B1O⊥AC交AC于点O，连接OB.∵面B1AC⊥ABCD，所以B1O⊥ABCD，∵侧棱B1A、B1B、B1C与底面ABCD所成的角均为45°，∴∠B1AO=∠B1BO=∠B1CO=45°，∴△B1AO≌△B1BO≌△B1CO，所以B1A=B1B=B1C，OA=OB=OC，∴AC是

6、△ABC外接圆的直径，所以AB⊥BC，又AD//BC，AD≠BC，∴四边形ABCD是直角梯形.ABCDA1B1C1D1OEMN（2）分别取BC中点M，B1C中点N，连结AM，AN，MN，则MN//B1B∥A1A，又AD//BC，AD=BC=MC，所以，ADCM为平行四边形，所以AM//DC，所以∠AMN是异面直线AA1与CD所成角.由（1），△B1AO，△B1BO，△B1CO是全等的等腰直角三角形，AB=BC，所以，△B1AC，△BAC是全等的等腰直角三角形.设B1O=a，则MN=B1B=，AM=因为AM=AN，所以在等腰三角形AMN中，所以，异面直线A

7、A1与CD所成角为（3）取B1B中点E，连结AE、CE、OE，由（2）知AE⊥B1B，CE⊥B1B，∴B1B⊥平面AEC，∴平面B1AB⊥平面AEC，且交线就是AE，∴AC在平面B1AB上的射影是AE，∴∠CAE是AC与平面B1AB所成的角在等腰直角三角形B1OB中，E是B1B的中点，∴∴直线AC与平面B1AB所成角的大小是方法二（1）证明：作B1O⊥AC交AC于点O，连OB，∵面B1AC⊥面ABCD，∴B1O⊥面ABCD,∵侧棱B1A、B1B、B1C与底面ABCD所成的角均为45°，∴∠B1AO=∠B1BO=∠B1CO=45°，∴△B1AO≌△B1BO

8、≌△B1CO，∴B1A=B1B=B1C，OA=OB=OC=OB1，又AB=BC，