高三数学一轮课时 第五章 第五节 正弦定理和余弦定理提能精练 理（全国版）

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1、(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．在△ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D．26【解析】　∵bccosA＋cacosB＋abcosC＝＋＋＝＝＝，故选C.【答案】　C2．(福建高考)在△ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c.若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为(　　)A.B.C.或D.或【解析】　由(a2＋c2－b2)·tanB＝ac得·tanB＝，即cos

2、B·tanB＝，∴sinB＝，∴B＝或π.【答案】　D3．(威海模拟)已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　　)A．2B．8C.D.【解析】　∵＝＝＝2R＝8，∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝abc＝×16＝.【答案】　C4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2＋c2－bc＝a2，且＝，则角C的值为(　　)A．45°B．60°C．90°D．1【解析】　由b2＋c2－bc＝a2得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝，∴A＝60°.又＝，∴＝，∴sinB＝sinA＝

3、×＝，∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°.【答案】　C5．在△ABC中，已知A＝1且＝，则sinC等于(　　)A.B.C.D.【解析】　由＝，可设AC＝2k，AB＝3k(k>0)，由余弦定理可得BC2＝4k2＋9k2－2×2k×3k×(－)＝19k2，∴BC＝k.根据正弦定理可得＝，∴sinC＝＝.【答案】　A6．(山东高考)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为(　　)A.，B.，C.，D.，【解析】　因

4、为m⊥n，所以m·n＝0，所以cosA－sinA＝0，即sinA－cosA＝0，所以2sin(A－)＝0，所以A＝(A为三角形内角)．又acosB＋bcosA＝csinC，所以sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，所以sin(A＋B)＝sin2C，所以sinC＝sin2C，所以sinC＝1，所以C＝.因为A＋B＋C＝π，所以B＝.【答案】　C二、填空题(每小题6分，共18分)7．(上海春招)在△ABC中，若AB＝3，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，则BC等于________．【解析】　根据三角形内角和定理知∠BAC＝180°－75°

5、－60°＝45°.根据正弦定理得＝，即＝，∴BC＝＝＝.【答案】　8．(浙江高考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________.【解析】　由正弦定理，知由(b－c)cosA＝acosC可得(sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，∴sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB，∴cosA＝.【答案】　9．在△ABC中，给出以下结论：①若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，则角A为60°；③若a2＋b2

6、>c2，则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.其中正确结论的序号是________．【解析】　由a2>b2＋c2，得b2＋c2－a2＜0，∴cosA＝<0，∴角A为钝角，故①正确．由a2＝b2＋c2＋bc，得b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝＝－，∴A＝1故②错误．由a2＋b2>c2，得cosC＝>0，∴C为锐角，但不能保证A、B都是锐角，故③错误．由A∶B∶C＝1∶2∶3，得A＝30°，B＝60°，C＝90°，∴a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin30°∶sin60°∶sin90°＝∶∶1

7、＝1∶∶2.故④错误．【答案】　①三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状．【解析】　由已知＝＝＝，所以＝.方法一：利用正弦定理边化角．由正弦定理，得＝，所以＝，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B.因为B、C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．方法二：由余弦定理，得＝，即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)，所以a2c2－c4＝a2b2－b4，即a2b2－

8、a2c2＋c4－b4＝0，所以a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0，所以b2＝