高中数学典型例题分析与解答：数列的求和

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1、数列的求和【例1】求下列数列的前n项和Sn：(3)先对通项求和【例2】求和：【例3】求下面数列的前n项和：比数列，另一个数组成以3n－2为通项的等差数列，分别求和后再合并．解设数列的通项为an，前n项和为Sn说明等比数列的求和问题，分q=1与q≠1两种情况讨论．…的前n项之和是[]数列{bn}的前n项和Sn=b1＋b2＋…＋bn【例5】求在区间[a，b](b＞a，a，b∈N)上分母是3的不可约分数之和．其中，可约分数是a，a＋1，a＋2，…，b故不可约分数之和为=b2－a2解法二

2、两式相加：2S=(a＋b)＋(a＋b)＋…＋(a＋b)其个数为以3为分母的分数个数减去可约分数个数．即3(b－a)＋1－(b－a＋1)=2(b－a)∴2S=2(b－a)(a＋b)∴S=b2－a2【例6】求下列数列的前n项和Sn：(1)a，2a2，3a3，…，nan，…，(a≠0、1)；(2)1，4，9，…，n2，…；(3)1，3x，5x2，…，(2n－1)xn-1，…，(x≠1)解(1)Sn=a＋2a2＋3a3＋…＋nan∵a≠0∴aSn=a2＋2a3＋3a4＋…＋(n－1)an＋nan+1Sn－aSn=a＋a2＋a3＋…＋an－nan+1∵a≠1

3、GN0169A.TXT/PGN>(2)Sn=1＋4＋9＋…＋n2∵(a＋1)3－a3=3a2＋3a＋1∴23－13=3×12＋3×1＋133－23=3×22＋3×2＋143－33=3×32＋3×3＋1……n3－(n－1)3=3(n－1)2＋3(n－1)＋1(n＋1)3－n3=3n2＋3n＋1把上列几个等式的左右两边分别相加，得(n＋1)3－13=3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n∴12＋22＋32＋…＋n2(3)∵Sn=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn-1∴xSn=x＋3x2＋5x3＋…＋(2n－3)xn-1＋(2n－1)xn两式相减，得(1－x)Sn=1＋2

4、x(1＋x＋x2＋…＋xn-2)－(2n－1)xn两式相减，得说明求形如{an·bn}的数列的前n项和，若其中{an}成等差数列，{bn}成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想．n∈N*，若bn=(－1)n·Sn，求数列{bn}的前n项和Tn．分析求{bn}的前n项和，应从通项bn入手，关键在于求{an}的前n项和Sn，而由已知只需求{an}的通项an即可．－3，由a2=1，解得a3=1．即a1=1，a2=3，a3=5，∴d=2an=1＋2(n－1)=2n－1Sn=1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2bn=(－1

5、)n·Sn=(－1)n·n2Tn=－12＋22－32＋42－…＋(－1)n·n2当n为偶数时，即n=2k，k∈N*Tn=(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(2k－1)2＋(2k)2]=3＋7＋…＋(4k－1)当n为奇数时，即n=2k－1，k∈N*Tn=－12＋22－32＋42－…－(2k－1)2=－12＋22－32＋42－…－(2k－1)2＋(2k)2－(2k)2=(2k＋1)k－(2k)2=－k(2k－1)∵an≠－1∴an=2n－1以下同解法一．说明本题以“等差数列”这一已知条件为线索，运用方程思想，求数列{an}的通项an，在求数列{bn}的前n项和中，通过化简、变形把一般数

6、列的求和问题转化为等差数列的求和问题．由于(－1)n的作用，在变形中对n须分两种情况讨论www.jb1000.comwww.jb1000.com教学资源网教学资源网教学资源，一网打尽；JB1000，精彩无限教学资源网www.jb1000.com