高三数学复习 中档题训练题12

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1、中档题训练121．在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽样统计，得到某城市一个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问：（1）3个投保人都能活到75岁的概率；（2）3个投保人中只有1人能活到75岁的概率；（3）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率.（结果精确到0.01）解：（1）（2）（3）2．如图：已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90，PA=PB，PC=PD.（Ⅰ）证明CD与平面PAD不垂直；（Ⅱ）证明平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅲ）如果CD=AD+BC，二面角P—BC—A等于60°，求二面角P—CD—A的大小．解：(Ⅰ

2、)若CD⊥平面PAD，则CD⊥PD，由已知PC=PD，得∠PCD=∠PDC，这与CD⊥PD矛盾，所以CD与平面PAD不垂直.(Ⅱ)取AB、CD的中点E、F，连接PE、PF、EF，由PA=PB，PC=PD，得PE⊥AB，PF⊥CD，∴EF为直角梯形的中位线，∴EF⊥CD，又PF∩EF=F,∴CD⊥平面PEF，由PE平面PEF，得CD⊥PE，又AB⊥PE且梯形两腰AB、CD必交，∴PE⊥平面ABCD，又PE平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD（Ⅲ）由（Ⅱ）及二面角的定义知∠PFE为二面角P-CD-A的平面角作EG⊥BC于G，连PG，由三垂线定理得BC⊥PG，故∠PGE为二面角P

3、-BC-A的平面角．即∠PGE=60°，由已知，得，又EG=CF=CD.∴EF=EG,易证得Rt⊿PEF≌Rt⊿PEG.∴∠PEF=∠PGE=60°，即为所求.3．（本小题满分12分）已知椭圆E：(a>b>0)中，以F1(－c，0)为圆心，a－c为半径作圆F1，过点B2(0，b)作圆F1的两条切线，设切点分别为M、N两点。(I)若过两切点M、N的直线恰好过点B1(0，－b)时，求此椭圆的离心率；(II)若直线MN的斜率为－1，且原点到直线MN的距离为4(－1)，求此时的椭圆方程；(III)是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间(，)内取值？若存在，求出椭圆E的离心率的取值

4、范围；若不存在，说明理由。解：(I)圆F1的方程是(x+c)2+y2=(a－c)2，因为B2M、B2N与该圆分别切于M、N两点，∴B2M=B2N，以B2为圆心，B2M为半径的圆的方程是x2+(y－b)2=a2－(a－c)2，相减得MN的方程是cx+by=a2－2ac，1分又B1在MN上，∴a2+b2－2ac=0，∵b2=a2－c2，∴2a2－2ac－c2=0即e2+2e2－2=0，∴e＝(负值舍去)。3分(II)由(I)，MN的方程是cx+by=a2－2ac，由已知＝－1，∴b＝c，而原点到MN的距离d＝，∴a＝4，b2=c2=8，所求椭圆方程是。7分(III)假设这样的椭圆

5、存在，由(II)则有，9分∴，∴，∴，故得，∴3<<4，求得。10分即离心率取值范围是时，直线MN斜率可在区间内取值。12分4．（本小题满分14分）已知点Pn(an，bn)都在直线L：y=2x+2上，P1为直线L与x轴的交点，数列{an}成等差数列，公差为1(n∈N＊)。（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；（II）若f(n)＝，问是否存在k∈N＊，使得f(k+5)=2f(k)－2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；（III）求证：(n≥2，n∈N＊)。　解：(I)P1(－1，0)，an＝－1+(n－1)×1＝n－2，bn＝2(n－2)+2＝2n－2（II）f(

6、n)＝，假设存在符合条件的k①若k为偶数，则k+5为奇数，有f(k+5)=k+3，f(k)=2k－2，如果f(k+5)=2f(k)－2，则k+3=4k－6k=3与k为偶数矛盾。②若k为奇数，则k+5为偶数，有f(k+5)=2k+8，f(k)=k－2，如果f(k+5)=2f(k)－2，则2k+8=2k－6，这样的k也不存在。故不存在符合条件的k。（III）∵Pn(n－2，2n－2)，∴

7、P1Pn

8、＝(n－1)，(n≥2)∴。14分