函数·典型例题精析

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1、2．2函数·例题解析 【例1】判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？(1)x2＋y＝1(2)x＋y2＝1解(1)由x2＋y＝1得y＝1－x2，它能确定y是x的函数．于任意的x∈{x

2、x≤1}，其函数值不是唯一的．【例2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？解(1)中两式的定义域部是R，对应法则相同，故两式为相同函数．(2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数．(4)中两式的定义域都是－1≤x≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数．

3、N>【例3】求下列函数的定义域：【例4】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数的定义域：求实数a的取值范围．为所求a的取值范围．【例6】求下列函数的值域：(1)y＝－5x2＋1(3)y＝x2－5x＋6，x∈[－1，1)(4)y＝x2－5x＋6，x∈[－1，3](9)y＝

4、x－2

5、－

6、x＋1

7、解(1)∵x∈R，∴－5x2＋1≤1，值域y≤1．(6)定义域为R(7)解：定义域x≠1且x≠2(y－4)x2－3(y－4)x＋(2y－5)＝0①当y－4≠0时，∵方程①有实根，∴Δ≥0，即9(y－4)2－4(y－4)(2y－5)≥

8、0化简得y2－64≥0，得y＜4或y≥16当y＝4时，①式不成立．故值域为y＜4或y≥16．函数y在t≥0时为增函数(见图2．2－3)．(9)解：去掉绝对值符号，其图像如图2．2－4所示．由图2．2－4可得值域y∈[－3，3]．说明求函数值域的方法：1°观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等．(如例1，2)2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理．假如求函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，在给定区间[m，n]的值域(或最值

9、)，分三种情况考虑：(如例5)可做公式用．法求y的范围(如例6－7)．为二次函数求值域．但要注意中间量t的范围(如例6－8)．6°分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来．利用有界变量的范围，求函数y的值域(如例6－6)．7°图像法(如例6－9)：由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解．解(2)∵f(－7)＝10，∴f[f(－7)]＝f(10)＝100．说明本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义．求分段函数值时，要注意在定义域内进行．【例8】

10、根据已知条件，求函数表达式．(1)已知f(x)＝3x2－1，求①f(x－1)，②f(x2)．(2)已知f(x)＝3x2＋1，g(x)＝2x－1，求f[g(x)]．求f(x)．(4)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)．(5)设周长为a(a＞0)的等腰三角形，其腰长为x，底边长为y，试将y表示为x的函数，并求它的定义域和值域．(1)分析：本题相当于x＝x－1时的函数值，用代入法可求得函数表达式．解∵f(x)＝3x2－1∴f(x－1)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2f(x2)＝3(x

11、2)2－1＝3x4－1(2)分析：函数f[g(x)]表示将函数f(x)中的x用g(x)来代替而得到的解析式，∴仍用代入法求解．解由已知得f[g(x)]＝3(2x－1)2＋1＝12x2－12x＋4法(或观察法)．∴x＝(t＋1)2代入原式有f(t)＝(t＋1)2－6(t＋1)－7＝t2－4t－12(t≥－1)即f(x)＝x2－4x－12(x≥－1)说明解法二是用的换元法．注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法．(4)分析：本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解．解设f(x)＝

12、ax2＋bx＋c(a≠0)由f(0)＝2，得c＝2．由f(x＋1)－f(x)＝x－1，得恒等式2ax＋说明待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握．(5)解：∵2x＋y＝a，∴y＝a－2x为所求函数式．∵三角形任意两边之和大于第三边，∴得2x＋2x＞a，又∵y＞0，说明求实际问题函数表达式，重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式，其定义域与值域，要考虑实际问题的意义．